Методические указания к выполнению контрольной работы № 3

В контрольную работу № 3 включены задачи по темам: электро­статика, постоянный электрический ток, магнитостатика, электро­магнитная индукция.

Перед выполнением контрольной работы необходимо проработать материал соответствующих разделов рекомендованной литературы, внимательно ознакомиться с основными законами и формулами, а также справочными материалами, приведенными в приложениях данной учебно-методической разработки. После этого надо разобрать примеры решения типовых задач из данной учебно-методической разработки и решить ряд задач из задачников по физике [4].

Задачи 301 … 330 относятся к теме “Электростатика”. Для решения этих задач необходимо изучить тему “Электростатика” по учебному пособию [1], с. 148…180.

Тема “Электростатика” представлена задачами по расчету простей­ших электрических полей с помощью принципа суперпозиции, на определение напряженности и разности потенциалов, электроемкости и энергии поля конденсаторов и задачами, в которых рассматривается движение заряженных частиц в электрическом поле.

Если электростатическое поле создано несколькими зарядами, то для нахождения напряженности и потенциала результирующего поля используют принцип суперпозиции. Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей , созданным каждым зарядом в отдельности. При решении задачи делают чертёж и для данной точки поля указывают направление векторов , векторы складывают по правилу сложения векторов. При расчёте напряженности знак заряда не учитывают.

Потенциал результирующего поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей , созданных отдельными зарядами. Потенциал – скалярная величина, поэтому при расчёте потенциала знак заряда учитывается.

Если заряженное тело не является точечным зарядом, сферой, бесконечно длинным цилиндром, бесконечной плоскостью, то тело разбивается на бесконечно малые элементы (в случае нити или стержня элемент dr), которые можно считать точечными зарядами и по формуле для точечного заряда найти и . Напряженность и потенциал находят интегрированием (интегрирование проводится по всей длине нити)

и .

Силы взаимодействия точечных зарядов можно найти либо по закону Кулона и затем сложить силы по правилу сложения векторов, либо, используя соотношение . Один из зарядов можно рассматривать как заряд, находящийся в электрическом поле, созданном другими зарядами.

Если в условии задачи не указывается среда, в которой находятся заряды, то подразумевается вакуум или воздух, диэлектрическая проницаемость которого близка к единице.

Для расчётов электрических полей при наличии диэлектрика вводят вспомогательный вектор – вектор электрической индукции (электрического смещения), который определяется по формуле , где – поляризованность (вектор поляризации). Для однородных изотропных диэлектриков . В этом случае, если диэлектрики заполняют всё пространство или объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями (сюда относятся диэлектрики в плоских, цилиндрических и сферических конденсаторах), вектор во всех точках поля как внутри, так и вне диэлектрика останется без изменения. Вектор напряженности электрического поля внутри диэлектрика уменьшится в раз.

Задачи 331 … 340 относятся к теме “Постоянный электрический ток”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебникам [1], с. 180…194. Следует учитывать, что на участке цепи, не содержащей ЭДС, напряжение U и разность потенциалов совпадают. Если в цепи имеется батарея из n одинаковых источников тока, то в законе Ома для замкнутой цепи надо использовать ЭДС батареи и внутреннее сопротивление батареи.

В задачах на определение работы и мощности тока следует иметь в виду, что полезная мощность выделяется во внешней цепи (на сопротивлении нагрузки), а полная мощность во всей цепи (на сопротивлении нагрузки и внутреннем сопротивлении источника); закон Джоуля-Ленца в форме справедлив только для постоянного тока

Задачи 341 … 370 относятся к теме “Магнитостатика”. Для решения этих задач необходимо ознакомиться с конкретными физическими понятиями, законами и формулами данной темы по учебному пособию [1], с. 204…212, 217…223, 212…216.

По теме “Магнитостатика” в контрольную работу включены задачи по расчету магнитной индукции и напряженности простейших магнитных полей с помощью принципа суперпозиции, задачи по расчету индукции магнитного поля с применением закона Био-Савара-Лапласа, задачи, в которых рассматривается действие магнитного поля на движущиеся заряды и токи (определение силы Ампера, силы Лоренца, вращающего момента, вычисление работы сил поля при перемещении проводника и контура с током).

Магнитное поле, созданное несколькими проводниками с током, рассчитывается с помощью принципа суперпозиции полей. Для решения задачи необходимо сделать чертёж, изобразить силовые линии магнитного поля для каждого проводника так, чтобы они проходили через точку, в которой надо определить индукцию. Векторы направлены по касательным к силовым линиям. Затем необходимо сложить векторы по правилу сложения векторов.

Задачи 371 … 380 относятся к теме “Электромагнитная индукция”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебному пособию [1], с. 223…235.

В явлении электромагнитной индукции магнитный поток и потокосцепление через контур могут изменяться при движении контура в неоднородном магнитном поле, при вращении контура, при изменении площади контура, а также при изменении во времени магнитного поля.

Если в задаче требуется найти разность потенциалов на концах проводника, движущегося в магнитном поле, то надо иметь в виду, что искомая разность потенциалов численно равна ЭДС, индуцируемой в проводнике.

Табл. 3

Вариант	Номера задач

Основные законы и формулы. Примеры решения задач

4.2.1.Электростатика

1. Закон Кулона

,

где F – модуль силы взаимодействия точечных зарядов q₁ и q₂; r – расстояние между зарядами; e– относительная диэлектрическая проницаемость среды; e₀ – электрическая постоянная (e₀ = 8,85 Ф/м).

2. Напряженность и потенциал электростатического поля

,

где – сила, действующая на точечный положительный (пробный) зарядq, помещенный в данную точку поля; W – потенциальная энергия этого заряда.

3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

; ,

где – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

5. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен-ной плоскостью

Е =

где s – поверхностная плотность заряда (заряд единицы площади).

6. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен-ной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра),

Е =

где t – линейная плотность заряда, r – расстояние от нити или от оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность. Внутри цилиндра Е = 0.

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого металлической заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R)

; ;

б) вне сферы (r R)

; ,

где q– заряд сферы.

8. Связь потенциала с напряженностью в случае однородного поля

E = (j₁–j₂)/d,

где d – расстояние между точками с потенциалами j₁ и j₂.

9. Работа сил поля по перемещению точечного заряда qиз точки поля с потенциалом j₁в точку поля с потенциалом j₂

A= q(j₁–j₂).

10. Поток напряженности и электрического смещения (индукции) :

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

и – проекции векторов и на направление нормали ; – угол между векторами или и нормалью .

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное поле,

, .

Поток векторов и через любую замкнутую поверхность (теоремаГаусса):

; ,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; m – число зарядов.

Электрическое поле рассматривается в вакууме.

11. Связь электрического смещения (индукции) с напряженностью в случае изотропных диэлектриков

.

12. Электроемкость

,

где j– потенциал уединённого проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю);U = (j₁–j₂) – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

13. Электроемкость плоского конденсатора

где S – площадь одной пластины конденсатора;d – расстояние между пластинами; e– диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

15. Электроемкость сферического конденсатора

где и – радиусы двух концентрических сфер; – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами.

16. Электроемкость цилиндрического конденсатора

где и – радиусы двух коаксиальных цилиндров; l - высота цилиндров; – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между цилиндрами.

17. Электроемкость параллельно и последовательно соединенных конденсаторов

; ,

где n – число конденсаторов в батарее.

18. Энергия заряженного конденсатора

19. Объемная плотность энергии электрического поля

Для однородного электрического поля w = W/V, где V – объем.

Примеры решения задач

Задача 1

Два точечных заряда 2 нКл и –1 нКл находятся в воздухе на расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 6 см и от второго заряда на 4 см.

Дано:	Решение:
q1 = 2 нКл = 10-9 Кл q2 = –1 нКл = –10-9 Кл e = 1; 1/4pe0 = 109 м/Ф d = 5 см = 10-2 м r1 = 6 см = 10-2 м r2 = 4 см = 10-2 м	Рис. 1
Е - ?j- ?

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряженность результирующего поля . Напряженности полей, создаваемых в воздухе (e = 1)зарядами q₁ и q₂:

E₁ = , ( 1 )

E₂= . ( 2 )

Направления векторов и указаны на рис.1. Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

E = ( cosa)^1/2,

где a – угол между векторами и . Из рис. 1 видно, что b=p-a.Тогда cosb = - cosa.

Следовательно,

E = ( cosb)^1/2 . ( 3 )

Из треугольника со сторонами r₁,r₂ и d по теореме косинусов находим

cosb = (r₁² + r₂² - d²)/(2r₁r₂). ( 4 )

Произведя вычисления по формулам (1), (2), (4), получим:

В/м,

В/м, cosb = .

При вычислении Е₂ знак заряда q₂ опущен, так как знак минус определяет направление вектора , а направление было учтено при его графическом изображении (cм. рис.1).

Напряженность результирующего поля будет равна

В/м.

По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого зарядами q₁ и q₂, равен алгебраической сумме потенциалов j₁ и j₂, т. е. j= j₁ + j₂ или

. ( 5 )

Произведя вычисления, получим:

В.

Задача 2

Тонкий прямой стержень длиной 10 см равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 1 нКл/см. На продолжении оси стержня, на расстоянии 20 см от ближайшего конца, находится точечный заряд 20 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.

Дано:	Решение:
q1= 20 нКл = 10-8 Кл = 1нКл/см = 10-7 Кл/м l= 10 cм = 0,1м а = 20 см = 0,2 м	Рис. 2
F = ?

Так как заряженный стержень не является точечным зарядом, то закон Кулона непосредственно применить нельзя. Разобьём стержень на малые элементы и выделим на стержне (рис. 2) элемент с зарядом . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда по закону Кулона

,

Так как силы взаимодействия заряда и зарядов на разных элементах стержня направлены в одну сторону, то геометрическую сумму сил можно заменить алгебраической. Силу взаимодействия точечного заряда и стержня найдём интегрированием выражения (1):

.

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений

.

Произведем вычисления с учётом того, что м/Ф:

Н.

Задача 3

Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. Определить работу сил поля по перемещению точечного заряда 25 нКл из точки, находящейся на расстоянии 1 см, в точку, находящуюся на расстоянии 3 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано:	Решение:
R = 1 см = 10-2 м t =20 нКл/м = 10-8 Кл/м q = 25 нКл = -8 Кл a1 = 1 см = 10-2м a2 = 3 см = 10-2 м	Работа сил поля по перемещению заряда равна А = q(j1 – j2). Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, можно записать: Е = или .
А - ?

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов между двумя точками, отстоящими на расстояниях r₁ и r₂ от оси цилиндра,

, ( 1 )

где r₁ = a₁ + R, r₂ = a₂ + R.

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром,

. ( 2 )

Подставив (2) в (1), получим:

ln

или

ln . ( 3 )

Таким образом,

ln .

Проверим, дает ли расчетная формула единицу работы. Для этого в правую часть вместо символов величин подставим их единицы

Произведем вычисления с учетом того, что . Так как величины r₂ и r₁ входят в формулу (3) в виде отношения, их можно выразить в сантиметрах.

Таким образом,

А = ln = Дж.

Задача 4

Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. На расстоянии 40 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом 1 см. Определить поток вектора напряженности через площадку, если её плоскость составляет угол 30^о с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Дано:	Решение:
t= 20 нКл/м = 10-8 Кл/м a = 40 см = 0,4 м R = 1 см =10-2 м b = 30о	Рис. 3
NЕ - ?

Поле, создаваемое нитью (очень тонким цилиндром), является неоднородным, так как модуль напряженности изменяется от точки к точке:

. (1)

Поэтому поток вектора равен

cosadS,

где a – угол между векторами и (рис. 3). Так как линейные размеры площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (а>>R), то Е в пределах площадки меняется незначительно. Тогда

,

где S = pR² .

Scosa=EpR²cosa.(2)

Из рис. 3 следует, что cosa = cos(p/2-b) = sinb.С учетом этого фор-мула (2) примет вид

sinb sinb.

Произведя вычисления с учетом того, что 1/2pe₀= м/Ф, получим:

Задача 5

Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной 5 мм и эбонита толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины 200 см². Определить: а) напряженность поля, индукцию и падение потенциала в каждом слое; б) электроемкость конденсатора.

Дано:	Решение:
U = 600 В (стекло) d1 = 5 мм = 10-3 м (эбонит) d2 = 3 мм = 10‑3 м S = 200 см2 = 10-2 м2	При переходе через границу раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора в обоих слоях диэлектриков имеет одинаковые значения D1n = D2n. В конденсаторе силовые линии вектора перпендикулярны к границе раздела диэлектриков, следовательно, D1n = D1 и D2n = D2. Поэтому D1= D2= D.( 1 )
Е - ?D - ? U1 - ?U2- ? С - ?

Учитывая, что , и сокращая на e₀, из равенства (1) получим:

e₁E₁ = e₂Е₂, ( 2 )

где Е₁и E₂ – напряженности поля в первом и во втором слоях диэлект­риков; e₁ и e₂ – диэлектрические проницаемости слоев.

Разность потенциалов между пластинами конденсатора, очевидно, рав­на сумме напряжений на слоях диэлектриков:

U = U₁+ U₂ . ( 3 )

В пределах каждого слоя поле однородное, поэтому U₁= E₁d₁ и U₂=Е₂d₂. С учетом этого равенство (3) примет вид

U = Е₁ d₁+ E₂d₂. ( 4 )

Решая совместно уравнения (2) и (4), получим:

, .

Произведя вычисления, получим:

;

;

; ;

Кл/м².

Определим электроемкость конденсатора

С = q / U, ( 5 )

где q = sS – заряд каждой пластины конденсатора. Учитывая, что поверхностная плотность зарядов s на пластинах конденсатора численно равна модулю электрического смещения, т. е. s = D, получим:

.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу электроемкости. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений

.

Произведя вычисления, получим:

пФ.

4.2.2. Постоянный электрический ток

1. Сила и плотность постоянного тока

I=q/t,j=I/S,

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t;S– площадь поперечного сечения.

2. Закон Ома

а) (для участка цепи, не содержащего ЭДС),

где I – сила постоянного тока; j₁–j₂ = U – разность потенциалов на концах участка цепи; R–сопротивление участка цепи;

б) (для замкнутой цепи),

где – ЭДС источника тока;R – сопротивление внешней цепи;R₀ – внутреннее сопротивление источника тока.

3. Сопротивление R и проводимость G однородного цилиндрическогопроводника постоянного диаметра

где r – удельное сопротивление проводника;g = 1/r – удельная электропроводность; l – длина проводника;S – площадь поперечного сечения проводника.

4. Работа и мощность тока

A= IUt,P = IU.

5. Закон Джоуля-Ленца

,

для постоянного тока

Q = I²Rt,

где Q – количество теплоты, выделяющейся на участке цепи сопротивлением R за время t, когда по проводнику течет ток силой I.

7. Закон Ома в дифференциальной форме

,

где I/S – плотность тока в проводнике; – напряженность электрического поля в проводнике.

8. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

где w= – удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяю-щейся в единице объема проводника за единицу времени).

Примеры решения задач

Задача 1

ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, 5 А. Определить максимальную мощность, которая может выделиться во внешней цепи.

Дано:	Решение:
= 12 В Imax = 5 А	По закону Ома для полной цепи , (1)
Pmax = ?

где R₀ – внутреннее сопротивление аккумулятора;R – сопротивление внешней цепи (сопротивление нагрузки).

Максимальная сила тока будет при коротком замыкании (R = 0)

. (2)

Из формулы (2) находим внутреннее сопротивление:

. (3)

Мощность, которая выделяется во внешней цепи (полезная мощность),

P=I²R. (4)

C учетом закона Ома (1) получим:

(5)

Исследуя функцию (5) на максимум, найдем сопротивление нагрузки, при котором мощность максимальна:

. (6)

Из равенства (6) следует, что

R=R₀. (7)

Подставив (7) в формулу (5), найдем выражение для максимальной мощности:

. (8)

C учетом формулы (3) получим:

.

Произведя вычисления, получим:

Вт.

Задача 2

Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно нарастает от 0 до 4 А в течение 2 с. Определить количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.

Дано:	Решение:
R = 20 Ом I1= 0 А, I2= 4А t1 = 0, t2 = 2 c, t3= 1,5 c	Согласно закону Джоуля-Ленца, тепловая мощность, выделяющаяся на сопротивлении R, равна Р = I2R . Количество тепла dQ, выделяющегося за время dt на сопротивлении R, равно
Q - ?

dQ = Pdt = I²Rdt . (1)

По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т. е. является линейной функцией времени

I = at + b . (2)

В начальный момент t₁ = 0 ток I₁ равен нулю, поэтому в уравнении (2) имеем b = 0. Таким образом,

I = at . (3)

Коэффициент "а" найдем из условия, что I₂ = 4 А при t₂= 2 с:

I₂ = at₂.

Откуда получаем

A/c.

Подставляя в формулу (1) выражение (3) и интегрируя по времени от 0 до t₃, найдем количество выделившегося тепла:

. (4)

Подставляя в формулу (4) значения входящих в нее параметров, получим:

Дж.

Магнитостатика

1. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

,

где m – относительная магнитная проницаемость изотропной среды (в вакуумеm = 1); m₀ – магнитная постоянная (m₀ = 10^-7 Гн/м).

2. Магнитная индукция в центре кругового витка с током

,

где R – радиус кругового витка;I – сила тока.

3. Магнитная индукция поля длинного прямого проводника с током

,

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током, (рис. 4)

(cosa₁- cosa₂).

Рис. 4

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора обозначено точкой – это значит, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка "к нам".

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется индукция: cosa₁ = -cosa₂ = cosa. Тогда

B = cosa.

4. Магнитная индукция поля внутри длинного соленоида с током:

а) в центре соленоида В = mm₀In,

б) на краю соленоида В = mm₀In/2,

где n = N/l – число витков, приходящееся на единицу длины (N – число витков соленоида, l – длина соленоида).

5. Закон Ампера

или sina,

где a – угол между направлением тока в элементе проводника и вектором магнитной индукции .

В случае однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника длиной l модуль силы Ампера

F=IBlsina.

6. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из двух длинных прямолинейных параллельных проводов с токами I₁ и I₂,

F= ,

где d – расстояние между проводами.

7. Магнитный момент плоского контура с током

,

где – единичный вектор нормали к плоскости контура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

8. Вращающий момент, действующий на контур с током в однородном магнитном поле,

или sina,

где a – угол между векторами и .

9. Сила (сила Лоренца), действующая на движущийся заряд в магнитном поле,

или sina,

где – скорость заряженной частицы; a – угол между векторами и .

10. Магнитный поток:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

,

где ; – единичный вектор нормали к элементу поверхности dS; cosa – проекция вектора на направление нормали ; a – угол между вектором и нормалью ;

б) через плоску