Уравнение простого трубопровода

Рассмотрим вывод уравнения простого трубопровода для схемы короткого трубопровода показанного на рисунке 4.1. Насос из открытого бака перекачивает жидкость в сеть. На входе в насос стоит вакуумметр. Заданы свойства жидкости, материал трубопровода и геометрия трубопровода.

Рисунок 4.1 Схема к расчёту короткого трубопровода- Схема короткого трубопровода

Для вывода уравнения простого трубопровода в данном случае:

1.5.1.1. Выберем два поперечных сечения там, где известны давления. Нумеруем эти сечения по направлению движения жидкости 1-1 и 2-2. Выбираем плоскость сравнения 0-0 проходящую через центр тяжести нижнего поперечного сечения.

1.5.1.2.Распишем значения z и p в этих поперечных сечениях. Для Рисунок 5.1 z₁ = 0, z₂ = H_гвв, абсолютное давление в первом сечении равно атмосферному давлению p₁ = p_ат, абсолютное давление во втором сечении равно p₂ = p_ат - p_v.

1.5.1.3.Распишем скорости в поперечных сечениях. Площадь первого поперечного сечения гораздо больше площади поперечного сечения трубы, поэтому скорость в первом поперечном сечении гораздо меньше скорости в трубе и примем её равной нулю v₁ = 0. Площадь второго поперечного сечения равна площади поперечного сечения трубы, поэтому скорость во втором поперечном сечении равна скорости в трубе v₁ = v. Подставим полученные значения в уравнении Бернулли для потока реальной жидкости:

.

(4.1)

Упрощая полученное уравнение, получим

.

(4.2)

1.5.1.4. Находим потери напора в трубопроводе. Потери напора равны сумме потерь напора на местные сопротивления и сумме потерь напора на трение. Местными потерями являются: потери напора на сетке с обратным клапаном, которая ставится на входе в трубу: поворот трубы на 90°; задвижка на трубе. Все эти потери рассчитываются по скорости после местного сопротивления, а это скорость в трубе. По справочникам находим значения коэффициентов этих местных сопротивлений z_сетка, z_пов, z_зад. Потери напора на трение находится по формуле Дарси-Вейсбаха. Тогда потери напора равны:

(4.3)

1.5.1.4. Подставим потери напора в уравнение Бернулли, получим:

(4.4)

Это и есть уравнение простого трубопровода для данного случая. Это уравнение не зависит от типа расчета трубопровода.

Первый тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать давление вакуума p_v. В этом случае из уравнения простого трубопровода выразим определяемую величину:

(4.5)

Дальнейший порядок расчета следующий:

Рассчитываем объёмный расход Q = V/t;

Рассчитываем скорость в трубе v = Q/w = 4 Q/(p d²);

Рассчитываем число Рейнольдса Re = v d r/m = v d/n и определяем режим движения жидкости в трубопроводе. Если число Рейнольдса меньше критического Re_кр = 2000¸2320, то режим движения ламинарный, если больше то турбулентный.

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения

(4.6)

Подставляя полученные значения в уравнение (5.5), найдем неизвестную величину.

Второй тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать скорость или расход в трубопроводе. В этом случае уравнения простого трубопровода будет транцентдентным, то есть его нельзя разрешит относительно скорости так, как скорость входит в это уравнение в явном виде, но и в неявном виде при определении коэффициента гидравлического сопротивления трения l. В этом случае возможны два метода расчета: метод подбора и метод итераций.

Метод подбора.

В уравнения простого трубопровода все известные слагаемые перенесём в левую часть, а неизвестные в правую:

(4.7)

Рассчитываем численное значение левой части.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся произвольным значением скорости в трубопроводе v₀ (скорость в трубопроводе обычно меньше 5 м/с);

Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l;

Рассчитываем правую часть уравнения;

Сравниваем рассчитанную правую часть уравнения и левую. Если правая часть уравнения меньше левой H_прав < H_лев то задаёмся большим значением новой скорости v₁ > v₀, если же правая часть уравнения больше левой H_прав > H_лев то задаёмся меньшим значением новой скорости v₁ < v₀.

Результаты расчетов удобно поместить в таблицу:

Таблица 4.1 – Подбор скоростей
Скорость, м/с	Re	Режим	l	Hправ
V0	Re0		l0	Hправ0
V1	Re1		l1	Hправ1
V2	Re2		l2	Hправ2

По полученным значениям строим график зависимости правой части уравнения от скорости. Для построения графика необходимо, как минимум три точки. По известной левой части по графику находим необходимую скорость и рассчитываем расход.

Метод итераций

Уравнения простого трубопровода разрешаем относительно скорости:

(4.8)

Индекс i – номер итерации.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением скорости в трубопроводе v₀ с индексом i = 0;

1. Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

2. Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l₀;

3. По уравнению (5.8) рассчитываем новое значение скорости с индексом i = 1.

Далее пункты 1-3 повторяются с новой начальной скоростью. Итерации проводятся до тех пор, пока первые три значащие цифры скорости не совпадут. Для турбулентного режима движения обычно необходимо провести две - три итерации, для ламинарного режима движения итераций необходимо больше.

Третий тип расчета

Пусть по известным данным необходимо рассчитать диаметр трубопровода. В этом случае уравнения простого трубопровода будет транцентдентным, то есть его нельзя разрешит относительно диаметра так, как диаметр входит в это уравнение в явном виде, но и в неявном виде при определении коэффициента гидравлического сопротивления трения l. В этом случае возможны два метода расчета: метод подбора и метод итераций.

Метод подбора.

В уравнения простого трубопровода все известные слагаемые перенесём в левую часть, а неизвестные в правую:

(4.9)

Рассчитываем численное значение левой части.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением диаметра трубопровода d₀. Начальное значение диаметра очень трудно угадать. Поэтому в первом приближении можно считать, что максимальная скорость в трубопроводе равна v_мах = 5 м/с, тогда по известному расходу можно найти начальную площадь поперечного сечения и диаметр трубопровода:

(4.10)

Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l;

Рассчитываем правую часть уравнения;

Сравниваем рассчитанную правую часть уравнения и левую. Если правая часть уравнения меньше левой H_прав < H_лев то задаёмся меньшим значением нового диаметра d₁ < d₀, если же правая часть уравнения больше левой H_прав > H_лев то задаёмся большим значением новой скорости нового диаметра d₁ > d₀.

Результаты расчетов удобно поместить в таблицу:

Таблица 4.2 – Подбор диаметров
Диаметр, м/с	Re	Режим	l	Hправ
d0	Re0		l0	Hправ0
d1	Re1		l1	Hправ1
d2	Re2		l2	Hправ2

По полученным значениям строим график зависимости правой части уравнения от диаметра. Для построения графика необходимо, как минимум три точки. По известной левой части по графику находим необходимый диаметр.

Метод итераций

В уравнения простого трубопровода выразим скорость через расход:

(4.11)

Найдем из этого уравнения площадь поперечного сечения w. В уравнения простого трубопровода разрешаем относительно диаметра:

(4.12)

Индекс i – номер итерации.

Дальнейший порядок расчета следующий:

Задаемся начальным произвольным значением диаметра трубопровода d₀ с индексом i = 0;

1. Рассчитываем площадь поперечного сечения w_i = p d_i²/4.

2. Рассчитываем среднюю скорость в поперечном сечении v_i = Q/w_i.

3. Рассчитываем число Рейнольдса и определяем режим движения жидкости в трубопроводе;

4. Рассчитываем коэффициент гидравлического сопротивления трения l_i;

5. По уравнению (5.12) рассчитываем новое значение диаметра с индексом i = 1.

Далее пункты 1-5 повторяются с новым начальным диаметром. Итерации проводятся до тех пор, пока первые три значащие цифры диаметра не совпадут. Для турбулентного режима движения обычно необходимо провести две - три итерации, для ламинарного режима движения итераций необходимо больше.