Теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объёме.

В молекулярно-кинетической теории газов показывается, что молярная теплоёмкость идеального газа с i степенями свободы при постоянном объёме (для одного моля идеального газа) равна:

где R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная.

А при постоянном давлении

Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое сопровождается скачкообразным изменением теплоёмкости в конкретной для каждого вещества температурной точке превращения — температура плавления (переход твёрдого тела в жидкость), температура кипения (переход жидкости в газ) и, соответственно, температуры обратных превращений: замерзания и конденсации.

Удельные теплоёмкости многих веществ приведены в справочниках обычно для процесса при постоянном давлении. К примеру, удельная теплоёмкость жидкой воды при нормальных условиях — 4200 Дж/(кг·К); льда — 2100 Дж/(кг·К).

Уравнение Майера.

Для идеального газа справедливо Уравнение Майера:

,

где — универсальная газовая постоянная, — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики, примененного к изобарному процессу в идеальном газе:

,

в рассматриваемом случае:

.

Уравнение Майера показывает, что различие теплоёмкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 K, и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной — механический эквивалент теплоты.

23)

Изохорный процесс:

При изохорном процессе объём не меняется и поэтому работа газа равна нулю. Изменение энергии согласно уравнению (Q=ΔU+A′) равно количеству переданной теплоты: ΔU=Q

Если газ нагревается, то Q>0 и ΔU>0, его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении газа Q<0 и ΔU= - <0, изменение внутренней энергии отрицательно и внутренняя энергия газа уменьшается.

График изохорного процесса на диаграмме (P,V)

Термодинамика процесса:

Из определения работы следует, что изменение работы при изохорном процессе равно:

Чтобы определить полную работу процесса проинтегрируем данное выражение. Поскольку объем неизменен, то:

,

Но такой интеграл равен нулю. Итак, при изохорном процессе газ работы не совершает:

.

Графически доказать это намного проще. С математической точки зрения, работа процесса — это площадь под графиком. Но график изохорного процесса является перпендикуляром к оси абсцисс. Таким образом, площадь под ним равна нулю.

Изменение внутренней энергии идеального газа можно найти по формуле:

,

где i — число степеней свободы, которое зависит от количества атомов в молекуле: 3 для одноатомной (неон), 5 для двухатомной (кислород) и 6 для трёхатомной и более (молекула водяного пара).

Из определения и формулы теплоёмкости и, формулу для внутренней энергии можно переписать в виде:

,

где — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Используя первое начало термодинамики можно найти количество теплоты при изохорном процессе:

Но при изохорном процессе газ не выполняет работу. То есть, имеет место равенство:

,

то есть вся теплота, которую получает газ идёт на изменение его внутренней энергии.

Изобарный процесс:

При изобарном процессе согласно формуле (Q=ΔU+A′) передаваемое системе количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы и совершение работы при постоянном давлении (Согласно закону Гей-Люссака, при изобарном процессе в идеальном газе ).

График изобарического расширения газа от объёма до . AB здесь является изобарой.

Работа, совершаемая газом при расширении или сжатии газа, равна .

Количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом, характеризуется изменением энтальпии: .

Если газ нагревается (Q>0), то он расширяется и совершает положительную работу (A′>0). Одновременно увеличивается его внутренняя энергия (ΔU>0).

При охлаждении (Q<0) газ сжимается и внешние силы совершают над ним положительную работу (А>0), его внутренняя энергия уменьшается (ΔU<0)

Изотермический процесс:

При изотермическом процессе (Т=const) внутренняя энергия идеального газа (U= RT) не меняется. Согласно формуле (Q=ΔU+A′) все переданное системе количество теплоты идет на совершение работы:

Q= A′

Если газ получает теплоту (Q>0), то он совершает положительную работу (A′>0).

Если газ отдаёт теплоту окружающей среде (термостату), то Q<0 и A′<0. Работа же внешних сил над газом в последнем случае положительна.

Работа, совершенная идеальным газом в изотермическом процессе, равна , где — число частиц газа, — температура, и — объём газа в начале и конце процесса, — постоянная Больцмана .

Несколько изотерм для идеального газа нa p-V диаграмме

Адиабатический процесс

Адиабатный процесс-это процесс в теплоизолированной системе.

Обратимый адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона. Линия, изображающая адиабатный процесс на термодинамической диаграмме, называется адиабатой Пуассона. Примером необратимого адиабатического процесса может быть распространение ударной волны в газе. Такой процесс описывается ударной адиабатой. Адиабатическими можно считать процессы в целом ряде явлений природы. Так же такие процессы получили ряд применений в технике.

Физический смысл адиабатического процесса:

Если термодинамический процесс в общем случае являет собой три процесса — теплообмен, совершение системой (или над системой) работы и изменение её внутренней энергии, то адиабатический процесс в силу отсутствия теплообмена ( ) системы со средой сводится только к последним двум процессам^[. Поэтому, первое начало термодинамики в этом случае приобретает вид

где — изменение внутренней энергии тела, — работа, совершаемая системой.

Изменения энтропии S системы в обратимом адиабатическом процессе вследствие передачи тепла через границы системы не происходит:

Здесь — температура системы, — теплота, полученная системой. Благодаря этому адиабатический процесс может быть составной частью обратимого цикла

Уравнение Пуассона

Адиабата Пуассона

Для идеальных газов, чью теплоёмкость можно считать постоянной, в случае квазистатического процесса адиабата имеет простейший вид и определяется уравнением:

где — его объём, — показатель адиабаты, и — теплоёмкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объёме.

С учётом уравнения состояния идеального газа уравнение адиабаты может быть преобразовано к виду

где — абсолютная температура газа. Или к виду

Поскольку всегда больше 1, из последнего уравнения следует, что при адиабатическом сжатии (то есть при уменьшении ) газ нагревается ( возрастает), а при расширении — охлаждается, что всегда верно и для реальных газов. Нагревание при сжатии больше для того газа, у которого больше коэффициент .

График адиабаты (жирная линия) на диаграмме для газа. — давление газа; — объём.

Вывод уравнения

Согласно закону Менделеева — Клапейрона для идеального газа справедливо соотношение

где R — универсальная газовая постоянная. Вычисляя полные дифференциалы от обеих частей уравнения, полагая независимыми термодинамическими переменными , получаем

(3)

Если в (3) подставить из (2), а затем из (1), получим

или, введя коэффициент :

.

Это уравнение можно переписать в виде

что после интегрирования даёт:

.

Потенцируя, получаем окончательно:

что и является уравнением адиабатического процесса для идеального газа.