Работа идеального газа при адиабатическом процессе

Совершение над газом работы на элементарном участке dh. Совершаемая работа показана красными лампочками

Поясним понятие работы применительно к адиабатическому процессу. В частном случае, когда работа совершается через изменение объёма, можно определить её следующим способом: пусть газ заключён в цилиндрический сосуд, плотно закрытый легко скользящим поршнем, если газ будет расширяться, то он будет перемещать поршень и при перемещении на отрезок совершать работу

где F — сила, с которой газ действует на поршень. Перепишем уравнение:

где s — площадь поршня. Тогда работа будет равна

где — давление газа, — малое приращение объёма. Аналогично видно, что уравнение выполняется и для сосудов с произвольной поперечной формой сечения. Данное уравнение справедливо и при расширении на произвольных объёмах. Для этого достаточно разбить поверхность расширения на элементарные участки на которых расширение одинаково.

Основное уравнение термодинамики примет вид:

(1)

Это условие будет выполняться, если скорость хода поршня (протекания процесса в общем случае) будет удовлетворять определённым условиям. С одной стороны она должна быть достаточно малой, чтобы процесс можно было считать квазистатическим. Иначе при резком изменении хода поршня давление, которое его перемещает, будет отличаться от давления в целом по газу. То есть газ должен находиться в равновесии, без турбулентностей и неоднородностей давления и температуры. Для этого достаточно передвигать поршень со скоростью, существенно меньшей, чем скорость звука в данном газе. С другой стороны скорость должна быть достаточно большой, чтобы можно было пренебречь обменом тепла с окружающей средой и процесс оставался адиабатическим.

Однако работа может совершаться и другими путями — например, идти на преодоление межмолекулярного притяжения газов. В этом случае параллельно с изменением внутренней энергии будет происходить процессы совершения нескольких работ разной физической природы, и основное уравнение термодинамики примет вид:

(1a)

где , — дифференциальное выражение для работы, — внешние параметры, которые меняются при совершении работы, — соответствующие им внутренние параметры, которые при совершении малой работы можно считать постоянными. При совершении работы путём сжатия или расширения внутренний параметр — давление. Внешний параметр — объём.

24)

1. Формулировка Томсона – невозможен круговой процесс, единственным конечным результатом которого было бы отнятие от некоторого тела определенного кол-ва тепла и превращение этого тепла полностью в работу.

2. Формулировка Клаузиуса – невозможен круговой процесс, единственным конечным результатом которого был бы переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

Примечания: 1.Это не значит, что тепло вообще не может переходить от холодного тела к горячему, просто при этом создается изменение в окр. среде.

2.Из формулировки Клаузиуса следует, что переход тепла от горячего тела к холодному является необратимым процессом, т.к. обратимый переход невозможен без изменения в окр. телах.

3.Обе формулировки эквивалентны друг другу.

Второй закон термодинамики заключается в том, что вечный двигатель второго рода невозможен.

Двигатель второго рода – воображаемое устройство, совершающее работу в цикле на основе получения тепла от источника тепла (не отдавая тепло холодильнику).

Объяснение: рассмотрим работу паровой машины:

Для положительной работы А расширения рабочее тело должно нагреться (при нагревании газ расширяется, что заставляет подняться поршень). Q₁>0

При охлаждении тело совершает отрицательную работу А сжатия

(при охлаждении газ сжимается, что заставляет опуститься поршень).

Q₂<0, |Q₂|=Q₂’>0 Работа, совершенная в цикле и выраженная площадью фигуры (1а2b1), будет положительной.

В цикле ∆U_1a2b1=0, по формуле Q=∆U+A, значит Q=A, следовательно, Q₁+Q₂=A или Q₁+Q₂’=A.

Коэффициент полезного действия: ɳ=A/Q₁=(Q₁-Q₂’)/Q₁

(ƞ – безразмер.)

Если ɳ=1, тогда всё Q1 перейдет в A (Q1=A, Q2=0),

но такого быть не может! (соответственно вечного двигателя второго рода не существует).

ЭНТРОПИЯ.

Энтропия — физическая величина, используемая для описания термодинамической системы и обозначается S.

S=k*lnΩ - формула Больцмана, k – постоянная Больцмана, равная 1,38*10-23.

Число микроскопических способов, которыми может быть задано состояние некоторой системы, называется статистическим весом или термодинамической вероятностью состояния и обозначается Ω (Ω - безразмерная), если система состоит из 2 тел, то Ωобщ=Ω1+Ω2. Энтропию в этом случае можно записать как: Sобщ=k*lnΩ1+klnΩ2=S1+S2 (т.е. энтропия сложной системы равна сумме энтропий ее частиц).

Например: Существует некоторая система с множеством молекул, которые имеют координаты (xi; yi; zi) и скорости (Vxi; Vyi; Vzi). ∆x ∆y ∆z ∆Vx ∆Vy ∆Vz – объем шестимерной ячейки. Задать микросостояние системы – значит указать, в какой из ячеек шестимерного пространства находится каждая молекула.

Пример для понимания:

Представим, что у нас есть 3 молекулы и две ячейки. Нужно распределить молекулы по ячейкам разными способами.

4 разных способа.

Энтропия является функцией состояния, т.к. в каждом состоянии имеет определенное значение, как и внутренняя энергия, поэтому бесконечно малое приращение S является полным дифференциалом (dS).

Рассмотрим изолированную систему. Оказывается, предоставленная самой себе, система переходит в состояние с большим статистическим весом, как наиболее вероятное (Ω↑=>S↑).

Закон возрастания энтропии:

1) При всех происходящих в изолированной системе процессах ее S не может ↓(∆S≥0).

2) Максимально возможное значение S изолированной системы достигается в состоянии равновесия.

Закон возрастания энтропии является более точной формулировкой второго закона термодинамики, т.к. указывает направление процессов, происходящих в природе.

dS=(δQ/T)_квст (квст-квазистатические, т.е. когда система находится в состоянии равновесия)

dS – приращение энтропии при б.м. обратимом квазистатическом изменении состояния тела.

δQ – количество теплоты, полученное телом в этом процессе.

Т – температура тела.

Сообщение телу тепла приводит к увеличению хаотичности распределения молекул по ячейкам, что увеличивает статистический вес и, соответственно, энтропию (dS~ δQ).

Влияние данного количества теплоты зависит от относительной величины тела по сравнению с внутренней энергией (dS~ δQ/U~ δQ/T).

Теорема Нернста (третий закон термодинамики) – При абсолютном нуле любое тело находится, как правило, в состоянии, статистический вес которого равен 1.

S=k*lnΩ=k*0=0

Энтропия любого тела стремится к 0 при приближении к 0 абсолютной температуры.

lim(T→∞)S=0 –формулировка 3 закона.

Энтропия идеального газа.

Обозначим S_M – энтропия 1 моля, U_M – внутренняя энергия, V_M – молярный объем и подставим в формулу возрастания энтропии (dS=(δQ/T)_квст).

(1) dS_M=( (dU_M+pdV_M)/T)квст (по формулам δQ=dU+ δA, δA=pdV)

(2) dU_M=(i/2)*RdT=C_VdT (по формулам U=(i/2)*(кол-во в-ва)*RT и C_V=(i/2)*R )

(3) pV_M=RT=>p=(RT)/V_M

Подставляем это (2) и (3) в (1) и получаем: dS_M= (C_VdT+(RT)dV/V_M)/T => dS= (C_vdT)/T + R(dV_M)/V_M

Проинтегрируем и получим:

SM=C_VlnT+RlnV_M+S₀ – Энтропия одного моля идеального газа

Энтропия какого-то количества идеального газа:

S=(кол-во газа (моль))*S_M=(кол-во газа)*(CVlnT+Rln(V/кол-во газа)+S₀

25)

Анализируя работу тепловых двигателей, Карно в 1824г. пришел к выводу, что наивыгоднейшим круговым процессом является обратимый (все процессы происходят квазистатически) круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов, т.к. он характеризуется наибольшим КПД. Такой цикл получил название цикла Карно.

В прямом цикле Карно рабочее тело изотермически, а затем адиабатически расширяется, после чего снова изотермически (при более низкой температуре) и потом адиабатически сжимается. Т.е. цикл Карно ограничен двумя изотермами и двумя адиабатами.

Пусть параметры точки 1 будут: p₁ V₁ T₁. При изотермическом расширении от нагревателя поступает тепло Q₁ (участок 1-2), вследствие этого T₁=const. Параметры точки 2 будут равны p₂ V₂ T₁. На участке 2-3 происходит адиабатное расширение (Q=0, т.е. нет теплообмена с окр. средой). Внутренняя энергия газа уменьшается и его температура падает до Т₂. Параметры точки 3 – p₃ V₃ T₂. На участке 3-4 газ изотермически сжимается. Параметры точки 4 – p₄ V₄ T₂ . Выделяющееся при этом тепло Q₂ отбирается холодильником (Q₂<0, |Q₂|= Q₂’). Участок 4-1 -адиабатическое сжатие до исходного состояния, соответствующего точке 1. Таким образом, при завершении цикла «1-2-3-4-1» нагреватель отдал газу теплоту Q₁ , а холодильник отобрал Q₂.
Рассчитаем КПД для данного процесса.
для двух изотерм (1-2 и 3-4):
Q₁=νRT₁*ln(V₂/V₁) и |Q₂|= Q₂’= -νRT₂*ln(V₄/V₃)= νRT₂*ln(V₃/V₄) соответственно.
*(по общей формуле теплоты для изотермического процесса Q=A=νRT*ln(V₂/V₁) )
уравнения двух адиабат идеального газа (2-3 и 4-1):
(1) T₁V₂^Ȣ-1=T₂V₃^Ȣ-1
(2) T₁V₁^Ȣ-1=T₂V₄^Ȣ-1 разделим (1) на (2)

(V₂/V₁)^Ȣ-1=(V₃/V₄)^Ȣ-1
Подставим в формулу для КПД (ɳ=(Q₁-Q₂’)/Q₁):

ɳ= = (T₁-T₂)/T₁ (т.к. V₂/V₁=V₃/V₄)

КПД цикла Карно(не только для идеального газа): ɳ= (T₁-T₂)/T₁
График цикла Карно в разных диаграммах (S – энтропия):

26)

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где — давление газа в слое, расположенном на высоте , — давление на нулевом уровне ( ), — молярная масса газа, —универсальная газовая постоянная, — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где — масса молекулы газа, — постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле. При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы выразить плотность ρ через давление P:

Здесь T − абсолютная температура, R − универсальная газовая постояная, равная , M − молярная масса, которая для воздуха равна . Отсюда следует, что плотность определяется формулой

Подставляя это в дифференциальное соотношение для dP, находим:

В результате мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее давление газа P как функцию высоты h. Интегрирование приводит к следующему уравнению:

Избавляясь от логарифмов, получаем так называемую барометрическую формулу

Константа C определяется из начального условия P(h = 0) = P₀, где P₀ − это среднее атмосферное давление над уровнем моря.

Таким образом, зависимость атмосферного давления от высоты выражается формулой:

Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868—1871.

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией равно

где — кратность состояния частицы с энергией — число возможных состояний частицы с энергией . Постоянная находится из условия, что сумма n_i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц n в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию можно считать состоящей из
кинетической энергии (кин) частицы (молекулы или атома),
внутренней энергии (вн) (например, энергии возбуждения электронов) и
потенциальной энергии (пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

27)

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число dN молекул однородного (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т скорости, заключенные в интервале от v до v + dv.

Для вывода функции распределения молекул по скоростям f(v) равной отношению числа молекул dN, скорости которых лежат в интервале v ÷ v + dv к общему числу молекул N и величине интервала dv

Максвелл использовал два предложения:

а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т.е. любое направление скорости одинаково вероятно. Это свойство иногда называют свойством изотропности функции распределения.

б) движение по трем взаимно перпендикулярным осям независимы т.е. х-компоненты скорости не зависит от того каково значения ее компонент или . И тогда вывод f (v) делается сначала для одной компоненты , а затем обобщается на все координаты скорости.

Считается также, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Силовые поля на газ не действуют.

Функции f (v) определяет относительное число молекул dN(v)/N скорости которых лежат в интервале от v до v + dv (например: газ имеет N = 10⁶ молекул, при этом dN = 100

молекул имеют скорости от v =100 до v + dv =101 м/с (dv = 1 м ) тогда .

Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f (v) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

f (v ) зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т)

f(v) зависит от отношения кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости к величине kTхарактеризующей среднюю тепловую энергию молекул газа.

При малых v и функция f(v) изменяется практически по параболе . При возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель , т.е. имеется max функции f(v). Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью найдем из условия

, следовательно, с ростом температуры наиболее вероятная скорость растёт, но площадь S, ограниченная кривой функции распределения остаётся неизменной, так как из условия нормировки (так как вероятность достоверного события равна 1), поэтому при повышении температуры кривая распределения f (v) будет растягиваться и понижаться.

В статистической физике среднее значение какой-либо величины определяется как интеграл от 0 до бесконечности произведения величины на плотность вероятности этой величины (статистический вес)

<X>=

Тогда средняя арифметическая скорость молекул

и интегрируя по частям получили