Начисление процентов за произвольный период времени

В общем случае, срок ссуды t не обязательно равен целому числу n периодов начисления T:

t = n ´ T + t, (1.9)

где t < T.

Величина начисленных процентов в этом случае будет складываться из процентов I(n ´ T), начисленных за целое число периодов, и процентов I(t), начисленных за оставшийся срок t:

I = I(n ´ T) + I(t).

Величина процентов за целое число периодов I(n ´ T) определяется (1.6):

I(n ´ T) = P ´ n ´ i,

проценты, начисленные за оставшееся время t, будут меньше чем проценты за полный период T. Очевидно, что величина процентов за период меньший периода начисления T будет пропорциональна отношению t/T

I(t)=P ´ (t/T) ´ i.

Таким образом, формула начисления процентов I за произвольный период времени t имеет вид:

I =P ´ n ´ I + P ´ (t/T) ´ I = P ´ (n + t/T) ´ I = P ´ i ´ (t/T), (1.10)

а множитель наращения k равен:

k = S/P = (P + I)/P = 1 + (t/T) ´ I = 1 + (n + t/T) ´ i. (1.11)

Окончательно формула начисления простых процентов за произвольный период времени принимает вид

S = P ´ (1 + (t/T) ´ i). (1.12)

Если период времени начисления процентов меньше, чем период T на котором определена ставка i, выражение (1.12) принимает вид

S = P + I(t) = P ´ (1 + (t/T) ´ i). (1.13)

ПРИМЕР: Рассчитать величину процентов, начисляемых на депозит P = 645 120 руб. по ставке i = 23,8% с периодом начисления 360 дней за сроки, приведенные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Показатель	25 дней	65 дней	121 день	438 дней
Начисленные проценты I	10 662,40р.	27 722,24р.	51 606,01р.	187 008,48р.
Множитель наращения k	1,0165	1,0430	1,0800	1,2896

ПРИМЕР 1. Найти удержанные проценты за ссуду 3 000 руб., начисленные за 5 месяцев по простой ставке 7% годовых.

Решение: Мы имеем исходную сумму долга по ссуде P = 3 000, ставку наращения по ссуде i = 0,07 и t/T = 5/12. Таким образом, проценты, начисленные к концу срока ссуды, будут равны I = P ´ I ´ t/T = 3 000´ 0,07´ (5/12) = 87,5 руб.

ПРИМЕР 2. Найти проценты и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней при простой ставке 4% годовых.

Решение: Исходная сумма P = 5 000 руб., годовая ставка простых процентов i = 0,04 и отношение срока операции к периоду, где определена ставка t/T = 100/365. Тогда процентные деньги в конце займа I = 5 000´ 0,04´ (100/365) = 54,8 руб. Общая сумма долга по займу соответственно будет равна S = 5 000 + 54,8 = 5 054,8 руб.

ПРИМЕР 3. Человеку, который инвестировал 100 000 руб., возмещены 101 000 руб. девяносто днями позже. С какой нормой (ставкой) зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте?

Решение: Исходная сумма инвестиций P = 100 000 руб., сумма средств, вырученная от инвестиций S = 101 000 руб. и t = 90/360 = 1/4. Теперь, так как S = P + I, найдем процентные деньги I = S – P = 101 000 – 10 000 = 1 000.

Но из (1.10) I = P ´ i ´ t/T, поэтому i = I/(P ´ t/T) = 1000/(100000´ (1/4)) = 0,04, или 4%.

ПРИМЕР 4. Через 60 дней после займа клиент выплатил ровно 10 000 руб.

Сколько было занято, если 10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12% годовых?

Решение: Общая сумма долга в конце займа S = 10 000, ставка по долгу i = 0,12 и t/T = 60/360 = 1/6. Подставляя эти значения в выражение для наращенной суммы S = P ´ (1 + i ´ t), получим 10 000 = P ´ (1,02), откуда P = 10 000/1,02 = 9 804 руб.

Упражнения

1. Вычислить (1 + 0,07(7/12))5 000 руб. с точностью до 1 руб. Ответ: 5204 руб.

2. Найти величину простых процентов для займа в 7 000 руб. за 5 месяцев при норме 3%. Ответ: 875 руб.

3. Вычислить 6 000 руб./(1 + 0,05(1/4)) с точностью до 1 руб. Ответ: 6000 руб.

4. Найти проценты и наращенную сумму, если 17 000 руб. инвестируются на 4 месяца при годовой ставке 3,5%. Ответ: 198,33 руб., 17198,33 руб.

5. Найти обыкновенный (365/360) и точный (365/365) простой процент для депозита 4 600 руб. за период с 1 февраля по 30 апреля при ставке 7% годовых. Ответ: 78,71 руб., 77,63 руб.

6. Найти обыкновенный (365/360) простой процент и итоговую сумму для 150 000 руб. при ставе 4% за 90 дней. Ответ: 1500 руб., 151500 руб.

7. Банк начисляет 3,5 руб. обыкновенного простого (365/360) процента за использование 300 руб. в течение 60 дней. Какова норма простого процента сделки? Ответ: 7%.

8. При приобретении товаров покупатель может заплатить или 500 руб. сразу или 520 руб. через 4 недели. Если он займет деньги, чтобы заплатить наличными, какая норма простого (365/360) процента может быть допустима для возмещения займа? Ответ: < 51,42% .

9. Найти сумму долга, если при окончательном расчете заемщик уплатил через три месяца 4800 руб. при простой ставке 7% годовых. Ответ: 4717,44 руб.

10. Найти наращенную сумму по вкладу в 7 000 руб., при простой годовой ставке 8% и t/T = 1/6. Ответ: 7093,33 руб.

11. Какая исходная сумма приведет к итогу 7 800 руб. за 5 месяцев, если норма процента равна 8%? Ответ: 7548,38 руб.

12. Определить величину начального депозита, который приведет к итогу 13 900 руб. через 90 дней при ставке 18% обыкновенного простого (360/360) процента? Ответ: 13309,28 руб.

13. Сколько дней понадобится, чтобы 6 000 руб. «заработали» 100 руб., если они инвестируются при 9% обыкновенного простого процента?Ответ: 67 дней.

Найти точный и обыкновенный простые проценты:

14. P = 28 000, I = 7%, t = 189 дней. Ответ: 998,79 руб., 1012,67 руб

15. P = 96 800, I = 6%, t = 227 дней. Ответ: 3612,09 руб., 3662,26 руб.

16. P = 69 500, I = 4,5%, t = 95 дней. Ответ: 556,95 руб.,564,69 руб.

17. P = 18 700, I = 12%, t = 128 дней. Ответ: 686,93 рубю, 797,86 руб.