Имитационное моделирование в инвестиционном проектировании
Цель работы - изучить методы проведения оптимизации на основе имитационного моделирования эффективности инновационных проектов; рассчитать параметры, необходимые для принятия решения.
Работа выполняется в течение 4-х академических часов.
Введение
Имитационное моделирование – это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация – это постижение сути явления без экспериментов на реальном объекте).
Имитационное моделирование – это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.
Имитационная модель – логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
Для имитационной модели в инвестиционном проектировании целесообразно использовать две управляемые переменные: объем инвестиций в проект, который определяет производственную мощность и ограничен сверху, и цену единицы продукции, которая определяет спрос на проект и прибыль с единицы реализованной продукции (12).
В условиях достаточности инвестиций или отсутствия дополнительных проектов, рекомендуется использовать NPV как базовый критерий эффективности. Алгоритм расчета чистого дисконтированного дохода:
где Dp – спрос на продукцию, являющийся стохастической функцией от цены, нат. ед.; Q – максимальный объем выпуска новой продукции на предприятии, нат. ед.; P – цена единицы новой продукции, ден. ед.; C – условно-переменные издержки, ден. ед.; WQ – условно-постоянные издержки, ден. ед.; Пt – прибыль от реализации продукции за t-й год реализации проекта, ден. ед.; АОt – сумма амортизационного износа за t-й год реализации проекта, ден. ед.; It – общий объем инвестиций за t-й год реализации проекта, ден. ед.; n – срок эксплуатации проекта, лет; r – ставка дисконта; tp – год, к которому осуществляется дисконтирование.
На основе имитационной модели планирования инвестиционных проектов возможно построение модели управления инвестиционной деятельностью с потенциалом максимизации эффективности инвестиций посредством разработки инвестиционной программы с использованием динамического программирования. В основе оптимизации заложена максимизация индекса доходности всей инвестиционной программы. Распределение инвестиций согласно предложенной модели целесообразно проводить раз в период.
Модель также может быть использована для ранжирования проектов по максимуму одного из критериев эффективности. Такое ранжирование позволит выбирать наиболее подходящие для реализации одиночные проекты в промежутках между принятием программ инвестиционного развития.
Рассмотрим преломление имитационной модели планирования инвестиционных проектов на стадии инвестиционного процесса.
1. Зарождение идеи.
Все перечисленные переменные носят стохастический характер, поэтому их расчет ведется укрупнено, обычно с применением экспертных методов. На данном этапе целесообразно провести первичную экспертную оценку идеи, а также уделить внимание стратегии, определить, как новый продукт будет вести себя на рынке, как он будет дифференцироваться от других, какова будет стратегия позиционирования продукта. Если ответы на данные вопросы будут туманными, то следует отказаться от проекта.
2. Конструкторская разработка и изготовление опытного образца.
Тут становятся известны максимальный объем выпуска новой продукции с единицы однотипного оборудования и условно-переменные издержки, которые будут все же иметь определенные колебания, т.к. они зависят от экзогенных переменных, таких как цены на материальные и трудовые ресурсы. Укрупнено корректировки можно вносить, базируясь на статистической информации.
На этой стадии также вводятся первоначальные инвестиции на разработку или приобретение интеллектуальной собственности. Если анализ на данной стадии инновационного процесса показывает, что проект будет неэффективным, то от него следует временно отказаться, но периодически проводить пересмотр данного проекта.
Следует также рассмотреть возможность продажи интеллектуальной собственности другому предприятию с большими возможностями для реализации конкретного проекта.
3. Прединвестиционная стадия.
На данной стадии становятся известными максимально доступный объем инвестиций, инвестиции, минимально необходимые для инфраструктуры, стоимость дополнительных инвестиций для освоения новой единицы оборудования. Дополнительное маркетинговое исследование позволит определить зависимость спроса от цены (D(Р)), но со значительной степенью вариации. На данной стадии также становятся известны условно-постоянные издержки, и, фактически, мы имеем все переменные для модели. Основная сложность заключается в нечеткости зависимости D(P), однако, подставляя данные в модель и варьируя P и I, можно найти вариант с наибольшим ЧДД по проекту. На этой стадии также определяются источники инвестиционных ресурсов.
4. Инвестиционная стадия.
На данной стадии производятся перерасчеты ЧДД, и, если данный показатель упал ниже нуля, принимается решение о ликвидации или замораживании проекта или, если отрицательная часть ЧДД меньше стоимости невозвратных при ликвидации инвестиций, то проект может быть реализован с целью сведения к минимуму потерь.
5. Эксплуатационная стадия.
На этой стадии можно построить более значимую зависимость D(Р) и, варьируя ценой, найти точку максимальной прибыли. Также возможно внести дополнительные инвестиции в освоение нового оборудования, в случае если спрос будет значительно превышать Q.
Прибыль, полученная на эксплуатационной стадии, должна быть распределена на накопление и потребление. Та часть, которая выделена на накопление, добавляется к инвестиционным ресурсам для реализации последующей инновационной программы или инновационных проектов.
Исходные данные
Предприятие реализует энергосберегающий проект с установкой нового оборудования ценой Р, число единиц К которого может варьироваться предприятием с целью максимизации доходов. Изменение числа единиц энергосберегающего оборудования приводит к соответствующему изменению первоначальных инвестиций.
Производственная мощность единицы оборудования – Q; минимальные инвестиции для инфраструктуры – Imin; стоимость инвестиций для освоения дополнительной единицы оборудования – Iед.об.; условно-переменные издержки С; условно-постоянные издержки –WQ =f(K); норма амортизации – 10%; срок эксплуатации проекта – 7 лет; ставка дисконта – r =14%; функция спроса Dp = F(P); максимальный объем инвестиционных ресурсов – Imax= 2 500 тыс. у.е.
Провести оптимизацию на основе имитационного моделирования эффективности инновационного проекта по критерию чистый дисконтированный доход. Дисконтирование потоков произвести к нулевому году (tp = 0).
Исходные данные для расчета приведены в таблице 16.
Таблица 16 – Исходные данные
| Вариант | Q, тыс.нат.ед. | Imin , тыс.у.е. | Iед.об.., тыс.у.е. | С, тыс.у.е. | WQ, тыс.у.е. | DP, тыс.у.е. |
| 10,0 | 120+40К | 10-3Р | ||||
| 15,0 | 4,5 | 110+40К | 120-4Р | |||
| 12,0 | 5,1 | 100+50К | 98-5Р | |||
| 11,0 | 4.9 | 105+50К | 99-5Р | |||
| 12,2 | 4,8 | 115+50К | 100-5Р | |||
| 12,4 | 4,7 | 100+40К | 101-5Р | |||
| 12,6 | 4,6 | 100+45К | 102-5Р | |||
| 12,8 | 4,5 | 120+45К | 103-5Р | |||
| 13,0 | 4,4 | 115+50К | 104-5Р | |||
| 13,5 | 4,3 | 114+50К | 105-5Р | |||
| 14,0 | 4,2 | 1113+50К | 106-5Р | |||
| 14,2 | 4,1 | 112+50К | 107-5Р | |||
| 14,4 | 4,0 | 110+50К | 108-5Р | |||
| 14,6 | 4,1 | 109+50К | 109-5Р | |||
| 14,8 | 4,2 | 108+50К | 110-5Р | |||
| 15,2 | 4,3 | 107+50К | 111-4Р | |||
| 10,2 | 4,4 | 106+50К | 112-4Р | |||
| 10,4 | 4,5 | 105+50К | 113-4Р | |||
| 10,6 | 4,6 | 100+41К | 114-4Р | |||
| 10,8 | 4,7 | 100+42К | 115-4Р | |||
| 11,2 | 4,8 | 100+43К | 116-4Р | |||
| 11,5 | 4,9 | 100+44К | 117-4Р | |||
| 11,7 | 5,0 | 100+45К | 118-4Р | |||
| 13,4 | 5,1 | 100+48К | 119-4Р |
Распределение денежных потоков по годам для произвольного числа единиц оборудования К представлено в таблице 17.
Таблица 17 – Распределение денежных потоков по годам
| Показатель | Годы реализации проекта | |||||
| …… | ||||||
| Инвестиции | Ik | |||||
| Доходы | Пк+АОк | Пк+АОк | Пк+АОк | Пк+АОк |
Выполнение работы
1. Задаемся первоначальной ценой единицы новой продукции.
Принимаем Р=С, тыс. у.е.
2. Задаем произвольный шаг увеличения цены, (например 3 тыс. у.е.) и рассчитываем соответствующие значения функции спроса. Расчет производим до первого отрицательного значения функции спроса.
Результаты расчета заносим в таблицу 18.
Таблица 18 – Значения функции спроса.
| Р, тыс. у.е. | С | С+3 | С+6 | ... | С+12 | С+24 | … |
| Dp, тыс. у.е. |
3. Определяем объем инвестиций необходимый для К единиц оборудования (Первоначально принимаем К=1 – 6):
4. Определяем величину амортизационных отчислений и производственную мощность всего оборудования:
Результаты расчета заносим в таблицу 19.
Таблица 19.
| Показатели | Инвестиции , тыс. у.е. | |||||
| I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | |
| К | ||||||
| АОк, тыс. у.е. | ||||||
| Qк, тыс.нат.ед. | Q | 2Q | 3Q | 4Q | 5Q | 6Q |
5. По соотношению (12) определяем прибыль от реализации проекта для принятых значений цен на оборудования и различного количества единиц оборудования. Для нахождения прибыли можно воспользоваться встроенной статистической функцией «МИН» в программе Excel, входящей в Microsoft Office. Для этого в строке формул необходимо ввести например «=МИН(ссылка1;ссылка2)», где ссылки1,2 – ячейки с численными значениями Dp,Q.
Составляем матрицу прибыли от реализации проекта для принятых значений цен на оборудования и различного количества оборудования (таблица 20). Элементы матрицы представляют собой прибыль от реализации продукции, соответствующую данной производственной мощности (таблица 19) и значениям функции спроса (таблица 18).
Таблица 20 – Прибыль от реализации проекта
| Qk, тыс. у.е. Dp, тыс. у.е. | Прибыль при различных производственных мощностях и значениях функции спроса, тыс. у.е. | |||||
| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | |
При необходимости добавляем число единиц оборудования.
7. По соотношению (13) определяем NPV. При этом прибыль выбирается из таблицы 20, амортизационные отчисления и инвестиции – из таблицы 19. Так как чистый доход одинаков для всего проекта для нахождения прибыли можно использовать коэффициент аннуитета:
7. Проводим оптимизацию на основе имитационного моделирования эффективности инновационного проекта по критерию NPV. Составляем матрицу, строки которой представляют собой цены на единицу новой продукции, столбцы – объем инвестиций (таблица 21). Элементы матрицы представляют собой NPV. Элемент матрицы, который имеет максимальное числовое значение, является критерием эффективности. Строка и столбец на пересечении которых находится данный элемент соответствуют оптимальным ценам на продукцию и инвестициям.
Таблица 21 – Чистый дисконтированный доход
| Ik, тыс. у.е. Р, тыс. у.е. | NPV при различных инвестициях и ценах, тыс. у.е. | |||||
| I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | |
| С | ||||||
| С+3 | ||||||
| С+6 | ||||||
| … | ||||||
| С+24 | ||||||
| … |
Энергетическое планирование.
Планирование – это разработка и установление руководством предприятия системы количественных и качественных показателей, определяющих темпы, пропорции и тенденции развития данного предприятия как в текущем периоде, так и на перспективу. Планирование, административное управление и координация деятельности предприятия – одна из важнейших функций менеджмента. В современном понимании планирование – это умение определить цели, разработать мероприятия для их достижения, оценить потребность в ресурсах для их реализации. На основе плана в дальнейшем осуществляются организация запланированных работ, мотивация за- действованного для их выполнения персонала, контроль результатов. Для того чтобы планирование было эффективным, т.е. способствовало успеху фирмы в конкурентной борьбе, повышению ее конкурентных преимуществ, необходимо опираться на научные принципы планирования, которые должны соблюдаться при любом виде планирования, в том числе энергетическом. Принципы планирования определяют характер и содержание плановой деятельности на предприятии.
1. Принцип единства предполагает единое направление плановой деятельности на предприятии. Этот принцип реализуется при системном подходе к планированию.
2. Принцип участия показывает, что каждый работник предприятия становится участником плановой деятельности независимо от должности и выполняемых функций.
3. Принцип непрерывности означает, что процесс планирования на предприятиях должен осуществляться постоянно.
4. Принцип гибкости взаимосвязан с принципом непрерывности и заключается в придании планам и процессу планирования способности менять свою направленность в связи с возникновением непредвиденных обстоятельств. Для осуществления принципа гибкости планы составляются так, чтобы в них можно было вносить изменения. Поэтому планы должны содержать резервы, так называемые «надбавки безопасности».
5. Принцип точности выражается в том, что всякий план должен быть составлен с такой точностью, чтобы он обеспечивал нормальную работу предприятия с учетом неизбежных изменений внешних и внутренних условий. Очевидно, что точность плана должна соответствовать точности исходной информации.
В практике управления производственно-хозяйственной деятельностью предприятий используются различные методы планирования:
• балансовый;
• расчетно-аналитический;
• экономико-математического моделирования;
• графоаналитические;
• программно-целевой.
Балансовый метод планирования обеспечивает установление связей между потребностями в ресурсах и источниках их покрытия, а также между разделами плана. Например, балансовый метод увязывает производственную программу с производственной мощностью предприятия, трудоемкость производственной программы с численностью работающих. На предприятии составляются балансы производственной мощности, рабочего времени, материальный, энергетический, финансовый и др.
Расчетно – аналитический метод используется для расчета показателей плана, анализа их динамики и факторов, обеспечивающих необходимый количественный уровень показателей. В рамках этого метода определяется базисный уровень основных показателей плана и их изменения в плановом периоде за счет влияния основных факторов, рассчитываются индексы изменения плановых показателей по сравнению с базисным уровнем.
Метод экономико-математического моделирования применяют для разработки экономических моделей, отражающих зависимость количественных параметров (показателей) от влияния основных факторов, альтернативных вариантов плана и выбора оптимального.
Графоаналитический метод дает возможность визуализации результатов экономического анализа графическими средствами. С помощью графиков выявляется количественная зависимость между сопряженными показателями, например между темпами изменения фондоотдачи, фондовооруженности и производительности труда.
Сетевые графики являются разновидностью графоаналитических методов. С их помощью моделируется параллельное выполнение работ в пространстве и времени по сложным объектам, например реконструкция цеха, разработка и освоение новой техники и др.
Программно-целевые методы позволяют составлять план в виде программы, т.е. комплекса задач и мероприятий, объединенных одной целью и приуроченных к определенным срокам. На основе ранжирования целей (генеральная цель – стратегические и тактические цели программы работ) составляется граф типа «дерево целей» –исходная база для формирования системы показателей программы и оргструктуры управления ею.
Практическое занятие №1
Оценка показателей темпов роста выработки электроэнергии и планирование ее выработки на последующий период
Цель работы - ознакомиться с основными показателями темпов роста выработки электроэнергии и с различными методами планирования; разработать перспективный план выработки электроэнергии страны.
Работа выполняется в течение 2-х академических часов.
Введение
Основными показателями темпов роста выработки электроэнергии являются среднеарифметический процент роста за плановое количество лет (например пятилетку) и средний рост выработки с учетом ее возрастания по годам.
Среднеарифметический процент роста выработки за Т=5 лет по отношению к исходной величине за 2005 г. определяется по соотношению:
где Э – годовая выработка электроэнергии за соответствующий год.
Средний рост выработки с учетом возрастания выработки по годам, %
Изменение годового прироста выработки по годам может отличаться неравномерностью и графически изображается ломаной линией. С помощью метода наименьших квадратов можно получить выровненную линию прироста выработки, удовлетворяющую условию
где – фактическое и выровненное значения величины прироста.
На основе указанного метода:
Абсолютный прирост выработки в каждом году yt и процент роста по отношению к предыдущему году определяются соотношениями
При наметке плана выработки на 2011 г. на основании среднегодового темпа роста за предыдущую пятилетку:
При наметке плана выработки на 2011 г. на основании экстраполированной выровненной линии роста выработки за 2005–2010 гг.:
При использовании корреляционных зависимостей для планирования выработки электроэнергии по стране важно правильно выбрать показатель, по отношению к которому выработка электроэнергии находится в корреляционной зависимости.
Обозначим xi – показатель, по отношению к которому выработка электроэнергии yi находится в корреляционной зависимости для i – того года.
Определяем среднеарифметические значения:
где n – количество лет.
Среднеквадратичные отклонения и :
Коэффициент корреляции;
Уравнение прямой регрессии y по x имеет вид
Здесь y – план выработки на 2011 год, х – планируемое увеличение показателя
Исходные данные
Выработка электроэнергии в стране Э, млрд. кВт.ч для различных вариантов заданий за период 2005-2010 гг. (год окончания пятилетки и годы последующей пятилетки) приведена в таблице 23, рост ВВП за этот период – в таблице 24.
1. Определить показатели темпов роста выработки электроэнергии за отчетный период (среднеарифметический процент, средний процент) и план выработки на следующий год.
2. Исследовать корреляционную зависимость годовой выработки электроэнергии от валового внутреннего продукта страны с 2005 по 2010 гг. Определить вид корреляционной связи и выработку электроэнергии на 2011 г., если абсолютный прирост ВВП составит 2,5%.
Таблица 23 – Исходные данные
| Год вариант | ||||||
| Э, млрд. кВт. ч | ||||||
| 33.3 | 33.9 | 34.6 | 35.0 | 35.9 | 36.9 | |
| 25.2 | 26.2 | 27.5 | 28.6 | 29.8 | 30.2 | |
| 24.4 | 25.5 | 26.7 | 27.9 | 28.8 | 30.1 | |
| 23.5 | 24.6 | 25.7 | 26.9 | 28.1 | 29.1 | |
| 27.6 | 28.6 | 29.8 | 30.6 | 31.5 | ||
| 26.7 | 27.9 | 28.9 | 30.3 | 31.5 | 32.7 | |
| 28.8 | 29.9 | 32.7 | 33.9 | 34.5 | ||
| 29.1 | 30.1 | 31.2 | 32.4 | 33.2 | 34.6 | |
| 30.3 | 31.4 | 32.3 | 33.8 | 34.9 | 35.5 | |
| 30.6 | 31.5 | 32.5 | 33.5 | 35.0 | 36.0 | |
| 31.1 | 32.4 | 33.5 | 34.6 | 35.8 | 37.0 | |
| 31.9 | 33.0 | 33.8 | 34.5 | 35.6 | 36.2 | |
| 32.4 | 33.5 | 34.6 | 35.6 | 36.7 | 37.3 | |
| 33.1 | 34.5 | 35.6 | 36.7 | 37.7 | 39.0 | |
| 34.2 | 35.6 | 36.6 | 37.5 | 38.4 | 39.8 | |
| 35.1 | 36.1 | 37.3 | 38.5 | 39.9 | 41.1 | |
| 36.7 | 37.4 | 38.5 | 39.7 | 40.4 | 41.8 | |
| 37.3 | 38.4 | 39.5 | 40.6 | 41.3 | 42.4 | |
| 38.0 | 39.0 | 40.1 | 41.5 | 42.4 | 43.4 | |
| 38.9 | 39.4 | 40.5 | 41.7 | 42.9 | 43.4 | |
| 39.2 | 40.1 | 41.2 | 42.3 | 43.5 | 44.6 | |
| 24.4 | 25.6 | 26.4 | 27.7 | 28.4 | 29.4 | |
| 23.5 | 24.0 | 25.0 | 26.2 | 27.2 | 28.6 | |
| 22.8 | 23.9 | 24.9 | 25.6 | 26.8 | 27.9 | |
| 21.6 | 23.0 | 25.0 | 26.5 | 27.9 | 28.7 | |
| 40.1 | 42.0 | 43.9 | 45.5 | 46.9 | 47.6 | |
| 41.4 | 42.5 | 43.9 | 44.4 | 45.7 | 46.6 | |
| 42.7 | 43.6 | 44.9 | 45.9 | 46.7 | 47.8 | |
| 43.5 | 44.6 | 45.8 | 46.8 | 47.9 | 48.7 | |
| 44.8 | 45.9 | 46.9 | 47.5 | 48.5 | 49.9 | |
| 45.4 | 46.5 | 47.4 | 48.3 | 49.7 | 50.8 | |
| 46.8 | 47.8 | 48.9 | 49.5 | 50.6 | 51.5 | |
| 47.9 | 48.9 | 50.0 | 50.7 | 51.6 | 52.2 |
Таблица 24 – Рост ВВП
| Год | ||||||
| ВВП, млрд. руб. |
Выполнение работы
В качестве примера примем, что потребление электроэнергии в Республике Беларусь за период 2000-2006 гг. соответствует таблице 25.
Таблица 25 – Потребление электроэнергии Э, млрд. кВт.ч
| Год | ||||||
| Э, млрд. кВт. ч | 33.3 | 33.9 | 34.6 | 35.0 | 35.9 | 36.9 |
1. По соотношению (18) определяем среднеарифметический процент роста выработки за Т=5 лет по отношению к исходной величине за 2005 г.,%
2. Определяем средний рост выработки с учетом возрастания выработки по годам, %
3. По соотношениям (21) и (22) определяем абсолютный прирост выработки в каждом году yt и процент роста по отношению к предыдущему году.
Таблица 26 – Прирост выработки электроэнергии
| Показатель | Годы | ||||
| yt, 109 кВт∙ч | 0.6 | 0.7 | 0.4 | 0.9 | 1.0 |
| , % | 1.8 | 2.1 | 1.16 | 2.57 | 2.79 |
Составим таблицу для расчета выровненных значений. Точкой отсчета служит средний 2008 г.
Таблица 27 – Параметры для расчета выровненных значений
| Годы | t, лет | t2, лет | , | ||
| 0.6 | –2 | –1.2 | 0.52 | ||
| 0.7 | –1 | –0.7 | 0.62 | ||
| 0.4 | 0.72 | ||||
| 0.9 | +1 | 0.9 | 0.82 | ||
| 1.0 | +2 | 2.0 | 0.92 | ||
| Итого... |
Следовательно,
4. При наметке плана выработки на 2011 г. на основании среднегодового темпа роста за предыдущую пятилетку будем иметь
Если экстраполировать выровненную линию роста выработки за 2005–2010 гг., можно получить прирост выработки в 2011 г.:
Эта цифра ближе к принятой по плану выработки на 2011 г.
5. Исследуем корреляционную зависимость годовой выработки электроэнергии от валового внутреннего продукта страны с 2005 по 2010 гг.
В табл.28 даны цифры роста за 2005-2010 гг. ( лет) валового внутреннего продукта (ВВП), млрд. руб. и потребления электроэнергии Э млрд. кВт.ч.
Таблица 28
| 33.3 | 1108,89 | 2166731,1 | ||
| 33.9 | 1149,21 | 2687151,3 | ||
| 34.6 | 1197,16 | |||
| 35.0 | ||||
| 35.9 | 1288,81 | 4934167,8 | ||
| 36.9 | 1361,61 | 6013371,6 | ||
Величина ВВП обозначена через , Э – через .
Определим корреляционную зависимость годового потребления электроэнергии от валового внутреннего продукта.
6. Для определения среднеквадратичных отклонений и , коэффициента корреляции и построения регрессии обратимся к табл. 4.
Среднеарифметические значения определим по соотношению (25):
Найдем среднеквадратичные отклонения и определим по (26), (27):
Коэффициент корреляции определяем из соотношения (28)
Значение величины r весьма высокое, что свидетельствует об очень тесной корреляционной связи.
Уравнение прямой регрессии y по x имеет вид (29):
Практическое занятие №2
Методы оптимального планирования
Цель работы - ознакомиться с методами оптимального планирования, решить задачу оптимального планирования топливоснабжения энергосистемы методом потенциалов и при помощи средств MS Exсel.
Работа выполняется в течение 6-и академических часов.
Введение
Оптимальное планирование [optimal planning] — комплекс методов, позволяющих выбрать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант.
В решении задач подготовки оптимальных, то есть наилучших по определенным критериям, планов могут использоваться методы математического программирования.
Задачи математического программирования состоят в отыскании максимума или минимума некоторой функции при наличии ограничений на переменные — элементы решения. Известно большое количество типовых задач математического программирования, для решения которых разработаны эффективные методы, алгоритмы и программы для компьютеров. Наиболее распространенными являются транспортные задачи, суть которых — выбор плана перевозок, обеспечивающего минимум транспортных расходов при выполнении заданных объемов поставок потребителям в разных пунктах, при разных возможных маршрутах, из разных пунктов, в которых запасы или производственные мощности ограничены.
Транспортная задача формулируется следующим образом. Имеется m пунктов производства однородного продукта и n пунктов потребления. Заданы объемы производства каждого источника и размеры потребления каждого пункта потребления. Известная стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта в j-й. Переменными обозначим количество перевозимой продукции.
Требуется составить наиболее экономичный план перевозок.
Условия задачи представим в виде матрицы (таблица 29).
Таблица 29 – Условие транспортной задачи
| Пункты производства | Потребители | ||||
| В1 | В2 | ... | Вn | Запасы | |
| С11 | С12 | ... | C1n | ||
| А1 | х11 | х12 | ... | x1n | а1 |
| С21 | С22 | ... | C2n | ||
| А2 | х21 | х22 | ... | x2n | а2 |
| ... | ... | ... | ... | ... | |
| Потребность | b1 | b2 | ... | bn |
Математическая задача минимизации транспортных расходов формулируется следующим образом:
(30)
. (31)
. (32)
Различают два вида транспортных задач: закрытые, в которых суммарный объем поставок равен суммарному объему потребления
(33)
и открытые, в которых баланс потребления и поставок не выполняется.
Для решения задачи методом потенциалов открытая модель должна быть преобразована в закрытую. Если то в математическую модель задачи вводится фиктивный -й пункт потребления. Все затраты на поставку продукта в этот пункт принимаются равными нулю. Если то вводится фиктивный -й пункт поставки, затраты на поставку продукта из этого пункта принимаются также равными нулю.
Исходные данные
Необходимо разработать оптимальный план топливоснабжения электростанций энергосистемы на основании решения транспортной задачи линейного программирования с помощью метода потенциалов и средствами MS Excel.
Исходные данные к транспортной задаче приведены в таблицах 30 и 31.
Выполнение работы
Рассмотрим решение транспортной задачи на конкретных примерах.
1. Решение задачи методом потенциалов.
Пусть топливоснабжение района, включающего пять потребителей В1,В2,В3,В4,В5 осуществляется от трех топливных баз А1,А2,А3. Стоимость транспортировки для данного примера представлены в таблице 32. Цифры, стоящие в клетках таблиц, показывают затраты транспортировки 1 т у.т. от топливной базы к потребителю.
Поскольку при нахождении оптимального плана топливоснабжения учитываются затраты не только на перевозку, но и добычу топлива, переформируем исходную матрицу.
Примем, что стоимость 1 т у.т. на первой базе на первой базе составляет 30 руб., на второй – 40 руб., на третьей – 35 руб.
Новая матрица представлена в таблице 33.
Таблица 30 – Стоимость транспортировки
| № варианта | Затраты на транспортировку, руб./т у.т. | |||||||||||||||||
| С11 | С12 | С13 | С14 | С15 | С16 | С21 | С22 | С23 | С24 | С25 | С26 | С31 | С32 | С33 | С34 | С35 | С36 | |
Таблица 31 – Потребность в топливе
| № варианта | Объем топлива, тыс. т у.т. | Располагаемая мощность топливных баз, тыс. т у.т., аi | |||||||
| b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | b6 | ||||
| Стоимость 1 т у.т. на 1-й базе составляет 50 руб., на 2-й – 60 руб., на 3-й – 40 руб |
Таблица 32 – Стоимость транспортировки
| Топливные базы | Потребители | Располагаемая мощность топливных баз, тыс. т у.т. | ||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||
| А1 | ||||||
| А2 | ||||||
| А3 | ||||||
| Потребность в топливе, тыс. т. у.т. |
Таблица 33 – Исходные данные для решения задачи методом потенциалов
| Топливные базы | Потребители | Располагаемая мощность топливных баз, тыс. т у.т. | ||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||
| А1 | ||||||
| А2 | ||||||
| А3 | ||||||
| Потребность в топливе, тыс.т. у.т. |
Сформулированная задача является закрытой. Поиск допустимого базисного решения данной задачи осуществим с помощью метода минимального элемента.
Введем обозначения: Аi* – излишек нераспределенного топлива от топливной базы Аi, Вj* – недостача в поставке топлива потребителю Вj.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (1,1). Помещаем туда меньшее из чисел А1*=150 и В1*=90.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (1,2). Помещаем туда меньшее из чисел А1*=60 и В2*=90.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (3,2). Помещаем туда меньшее из чисел А3*=140 и В2*=5.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (3,3). Помещаем туда меньшее из чисел А3*=135 и В3*=115.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (3,5). Помещаем туда меньшее из чисел А3*=20 и В5*=80.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (2,4). Помещаем туда меньшее из чисел А2*=160 и В4*=100.
Находим незанятую клетку с минимальным тарифом (2,5). Помещаем туда меньшее из чисел А2*=60 и В5*=60.
Найденное допустимое базисное решение представлено в таблице 34.
Таблица 34 – Базисное решение
| Топливные базы | Потребители | Располагаемая мощность топливных баз, тыс. т у.т. | ||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||
| А1 | ||||||
| А2 | ||||||
| А3 | ||||||
| Потребность в топливе, тыс. т у.т. |
Транспортные расходы составят:
Z=32х90 + 33х60 + 49х100 + 52х60 + 43х5 + 44х115 + 40х20 =18955
Полученное базисное решение: