Нехай вектор а має початок у точці М1(х1, y1, z1), а кінець — у точці М2(х2, y2, z2). Тоді величини
є проекціями вектора a на осі х, y, z. Проекції вектора однозначно визначають вектор. Тому виконується рівність
Очевидно, що проекція на вісь х суми a + b векторів a та b дорівнює сумі проекцій на вісь х векторів a, b(рис. 3.15).
Рис. 3.15
● Справді, виконуються рівності
Нехай відомі проекції векторів a та b:
.
Тоді проекція суми векторів a + b дорівнює сумі відповідних проекцій векторів-доданків:
3.2.2. Множення вектора на число
Означення. Добутком вектора a на число l називається вектор , довжина якого дорівнює . Вектор колінеарний вектору а; має однаковий з ним напрям при і протилежний напрям при . Якщо або , то маємо , тобто добуток є нуль-вектором.
Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності. Для довільних чисел l, m та векторів a, b справджуються рівності:
(1)
Останню рівність унаочнює рис. 3.16 ( ).
Рис. 3.16
Ця властивість випливає з подібності трикутників із коефіцієнтом подібності l.
З очевидної рівності
випливає:
Лема. Будь-який вектор a можна єдиним чином подати у вигляді суми трьох векторів, кожний із яких колінеарний одній з осей координат х, у, z.
¨ Справді, нехай М1 — початок вектора a, М2 — його кінець. Сумістимо точку М1 із початком координат. Опустимо з точки М2 перпендикуляр на координатну площину ху і позначимо здобуту проекцію М3. Із точки М3 опустимо перпендикуляр на вісь х. Відповідну проекцію позначимо М4. Вектор М3М2 колінеарний осі z, вектор М4М3 — осі у, а вектор М1М4 — осі х.
Звідси, скориставшись одиничними векторами i, j, k, що, як відомо, колінеарні осям х, у, z, дістанемо:
.
Оскільки виконується рівність (рис. 3.17),
Рис. 3.17
то вектор a можна записати у вигляді:
(2)
Вектори називаються компонентами вектора a.
Отже, кожний вектор дорівнює сумі його компонентів за трьома осями координат.
Якщо вектори a та b подано за їх компонентами:
то для їх лінійної комбінації маємо
. (3)
Дано два вектори:
.
Знайдемо за формулою (3) вектор
.
3.2.3. Поділ відрізка
в заданому відношенні
Дано відрізок у тривимірному просторі, кінцями якого є точки М1(х1, y1, z1), M2(x2, y2, z2). Точка М(х, y, z), узята на прямій, що проходить через точки М1, М2, поділяє даний відрізок у відношенні l, якщо
М1М =λММ2.
Спроектувавши цю векторну рівність на осі х, у, z, дістанемо рівняння
.
Звідси знаходимо координати точки М:
Якщо , то М лежить між точками М1 і М2. У такому разі говорять, що точка М поділяє відрізок М1М2 внутрішнім чином. Якщо , то М не належить відрізку М1М2. Тоді говорять, що точка М поділяє відрізок М1М2 зовнішнім чином.
У частинному випадку, коли точка М є серединою відрізка М1М2, тобто при l = 1, маємо координати середини відрізка М1М2:
.
Дано дві матеріальні точки М1(х1, у1, z1) і М2(х2, у2, z2), маса яких дорівнює відповідно m1 і m2. Знайдемо координати центра тяжіння М(х, у, z).
· Точка М поділяє відрізок М1М2 у відношенні . Отже, маємо коефіцієнти точки М:
.
У загальному випадку для системи матеріальних точок з масами координати центра тяжіння знаходяться за формулами
.
3.2.4. Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком векторів a і b називається число , що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3.18):
(1)
Рис. 3.18
Нехай — проекція вектора b на вісь, паралельну вектору a. Тоді маємо:
(2)
Останнє співвідношення означає, що скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з них, помноженому на проекцію другого вектора на напрям першого.
Якщо кут між векторами a та b гострий, то ; якщо тупий, то ; якщо прямий, то . Коли один із векторів a, bє нульовим, то його можна вважати ортогональним до будь-якого іншого вектора.
Наведемо аналітичні властивості скалярного добутку, що випливають із його означення.
Остання рівність є наслідком формули (2) і властивості проекцій суми векторів:
Отже, у разі скалярного множення суми векторів на вектор можна розкривати дужки. Нехай вектори а та b подано через їх проекції на координатні осі:
Запишемо таблицю скалярного множення для одиничних векторів i, j, k — ортів системи координат:
Перемноживши скалярно вектори a та b, знайдемо їх скалярний добуток у проекціях на координатні осі:
(3)
Звідси маємо:
Знаючи проекції векторів а, b, можна знайти кут між цими векторами:
Дано просторовий трикутник з вершинами А(1, 2, –1),
В(2, 4, 1), С(3, 0, 0). Знайдемо кут при вершині А.
· Розглянемо вектори
і з їх скалярного добутку визначимо косинус шуканого кута:
.
Оскільки скалярний добуток векторів a, bдорівнює нулю, то кут при вершині А прямий. ·
Позначимо a, b, g кути між осями координат х, у, z та вектором a. Ці кути називаються напрямними кутами. Проекції вектора a на координатні осі подаються так:
(4)
Величини називаються напрямними косинусами вектора a. Згідно з (4) маємо:
(5)
Розглянемо вектор a у площині ху, який утворює кут 60° з віссю х і кут 30° з віссю у. Знайдемо напрямні косинуси вектора a:
· . ·
Доведемо теорему косинусів для трикутника.
· Позначивши сторони трикутника векторами a, b, c (рис. 3.19), подамо вектор c через вектори a та b: c = b – a. Далі, виконавши перетворення, дістанемо шукану залежність — відому теорему косинусів:
Рис. 3.19
·
3.2.5. Векторний добуток векторів
Означення. Векторним добутком векторів a та b називається вектор , який задовольняє такі умови:
1) вектор перпендикулярний до векторів a і b;
2) довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах aта b;
3) якщо звести вектори a, b та до спільного початку, то спостерігач, який міститься в кінці вектора , бачитиме найкоротший поворот від вектора a до вектора b таким, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 3.20).
Рис. 3.20
З означення векторного добутку випливають такі його властивості
Перші три властивості очевидні, останню властивість дистрибутивності наводимо без доведення.
Знайдемо векторний добуток векторів
.
Запишемо таблицю множення ортів i, j, k:
Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:
Векторний добуток векторів a та b можна подати у вигляді визначника:
(1)
Знайдемо площу просторового трикутника з вершинами А(1, 2, 1), В(4, 3, 2), С(2, 4, 4).
· Позначаючи вектори
,
обчислюємо їх векторний добуток:
Площа S трикутника АВС дорівнює половині площі паралело-
грама, побудованого на векторах a, b:
.
3.2.6. Мішаний добуток векторів
Означення. Мішаним добутком векторів a, b, c називається число
Мішаний добуток за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c.
¨ Справді, позначимо .
Вектор d перпендикулярний до основи паралелепіпеда, а довжина його дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах aта b як на сторонах (рис. 3.21).
Рис. 3.21
Висота h паралелепіпеда дорівнює . Отже, об’єм його обчислюємо так:
Оскільки вектор d може бути напрямлений у протилежний бік, то . ¨
(1)
Звідси маємо:
.
Знайдемо об’єм V тетраедра з вершинами А(1, 2, 3),
В(4, 4, 4), С(2, 6, 4), D(2, 3, 6).
· Розглянемо вектори
і запишемо їх мішаний добуток:
.
Шуканий об’єм тетраедра АВСD становить від об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c. Отже,
. ·
Пряма на площині
3.3.1. Рівняння прямої
з кутовим коефіцієнтом
Нехай на площині задано пряму у прямокутній системі координат х, у. Кут j між віссю Ох і цією прямою називається кутом нахилу прямої до осі. Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом розглядуваної прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь Оу у точці В з координатами (0, b), то число b називається початковою ординатою. Візьмемо довільну точку М(х, у) на прямій (рис. 3.22).
Рис. 3.22
З прямокутного трикутника МАВ знаходимо рівняння прямої
,
яке можна подати у вигляді
| , де | (1) |
Якщо розглядувана пряма паралельна осі Оу, то j = 0,5p і tgj не існує. При цьому пряма має рівняння виду х = а (рис. 3.23).
Рис. 3.23
Координати х, у будь-якої точки М(х, у), що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через точку М1(х1, у1), то справджується рівність
у1 = kx1 + b,
Віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку:
(2)
Зі зміною кутового коефіцієнта k в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку М1(х1, у1). Рівняння (2) називається рівнянням пучка (в’язки) прямих (рис. 3.24).
Рис. 3.24
Нехай дано дві різні точки М1(х1, у1), М2 (х2, у2), де х2 ¹ х1. З рівняння (2) випливає вираз для кутового коефіцієнта прямої, що проходить через точки М1, М2:
(3)
Підставляючи в (3) рівняння (2), знаходимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М1(х1, у1), М2 (х2, у2):
(4)
Знайдемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М1(4, 1), М2(2, 3).
· Згідно з (4) маємо:
Ця пряма утворює кут 135° з віссю Ох. ·
Якщо задано вектор , паралельний деякій прямій, і точку М0(х0, у0) на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді
Вектор s називається напрямним вектором прямої.
Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках М1(а, 0), М2(0, b), а ¹ 0, b ¹ 0, то її можна записати рівнянням
(5)
яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях.
Запишемо рівняння прямої
у вигляді (5).
· Значенню у1 = 0 відповідає х1 = 3. При х2 = 0 знаходимо у2 = 2. Отже, шукане рівняння прямої подається у вигляді
Пряма перетинає вісь х у точці з координатою х = 3, а вісь у — у точці з координатою у = 2. ·
3.3.2. Кут між прямими
Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями
. (1)
| Якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу: | (2) |
| Дві прямі збігаються, якщо k1 = k2, b1 = b2. |
Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то і
.
| Рівність є умовою перпендикулярності двох прямих виду (1). | (3) |
Якщо прямі не паралельні, то вони перетинаються в точці М(х, у), координати якої є розв’язком системи рівнянь
Нехай q — кут між цими прямими (рис. 3.25).
Рис. 3.25
Згідно з рис. 3.25 маємо: j2 = j1 + q (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним). Отже,
| Формулу застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1). | (4) |
У трикутнику з вершинами А(1, 1), В(5, 1), С(2, 4) знайти кут a при вершині А, а також рівняння висоти CD і медіани ВМ (рис. 3.25).
Рис. 3.25
Скориставшись (3), знайдемо кутові коефіцієнти прямих АВ, АС:
Пряма СD перпендикулярна до прямої АВ. Її кутовий коефіцієнт , а відповідне рівняння
у – 4 = – 4(х – 2).
Точка М поділяє відрізок АС пополам. Отже,
Через точки В(5, 2), М проводимо пряму m і згідно з (4) дістаємо:
або . ·
3.3.3. Загальне рівняння прямої
Розглянемо на площині прямокутну систему координат х, у і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку М0(х0, у0) на цій прямій. Нехай М(х, у) — довільна точка шуканої прямої (рис. 3.27).
Рис. 3.27
За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння
(1)
або
| (2) |
Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.
На відміну від рівняння виду (1) змінні х, у входять до рівняння (2) рівноправно. Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді (2).
Рівняння прямої (2) можна записати у вигляді (y = kx + b) лише за умови В ¹ 0.
Коефіцієнти А, В при х, у у загальному рівнянні прямої є про-
екціями на координатні осі вектора її нормалі n.
Справджується теорема.
Теорема 1. Будь-яка пряма на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (2). Кожне лінійне рівняння виду (2), деА2 + В2 > 0,визначає деяку пряму.
Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше при виведенні рівняння (1). Доведемо друге твердження. Візьмемо довільне лінійне рівняння
Оскільки коефіцієнти при х, у не перетворюються одночасно на нуль, завжди знайдуться значення х = х0, у = у0, при яких виконується рівність
Ах0 + Ву0 + С = 0.
Віднімаючи ці рівняння почленно, дістаємо рівність
А(х – х0) + В(у – у0) = 0. (3)
За допомогою векторів
,
рівність (3) можна записати у вигляді .
Як бачимо з рис. 3.27, вектор тоді і тільки тоді буде перпендикулярним до ненульового вектора , коли точка М(х, у) лежить на прямій, що проходить через точку М0(х0, у0) перпендикулярно до цього вектора. Звідси випливає рівняння (1), що визначає деяку пряму. Отже, теорему доведено. ¨
Нехай х, у — координати довільної точки на площині. Пряма (2) поділяє всю площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність Ах + Ву + С > 0, а в іншій — нерівність
Ах + Ву + С < 0. На самій прямій маємо: Ах + Ву + С = 0.
Розглянемо частинні випадки рівняння (2):
якщо А = 0, то пряма паралельна осі х;
якщо В = 0, то пряма паралельна осі у;
якщо С = 0, то пряма проходить через початок координат;
якщо А = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю х;
якщо В = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю у.
Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .
3.3.4. Взаємне розташування двох прямих
Дві прямі задано їх загальними рівняннями:
(1)
Точку перетину М(х, у) цих прямих знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь (1), оскільки координати х, у точки М задовольняють одночасно обидва ці рівняння.
Кут q між даними прямими дорівнює куту між їх нормалями (рис. 3.28).
Рис. 3.28
Отже, маємо такі залежності:
| — умова паралельності прямих. | (2) |
Якщо прямі збігаються, то їх коефіцієнти пропорційні:
| — умова перпендикулярності прямих. | (3) |
Скориставшись формулою скалярного добутку векторів, знайдемо кут q:
(4)
Розглянемо спосіб побудови прямих, що проходять через точку перетину двох даних прямих.