Похідні вищих порядків. Нехай функція y = f (x) має похідну у будь-якій точці x інтервалу ]a, b[

Нехай функція y = f (x) має похідну у будь-якій точці x інтервалу ]a, b[. Тоді ця похідна y¢ = f ¢(x) сама є функцією, визначеною в ін­тервалі ]a, b[, і можна шукати її похідну в точках цього інтервалу. Назвемо f ¢(x) першою похідною, або похідною першого порядку функції f (x).

Означення. Другою похідною функції f (x) у точці x (похід­ною другого порядку) називається похідна (якщо вона існує) від її першої похідної y цій точці.

Позначається друга похідна функції y = f (x) по-різному: f ¢¢(x), , , , , або просто y¢¢, якщо зрозуміло, яка змінна є аргументом. Отже, за означенням,

.

Якщо функція y = f (x) має у точці x другу похідну, то вона нази­вається двічі диференційовною у цій точці. Функція двічі диференці­йовна у інтервалі ]a, b[, якщо вона двічі диференційовна у кожній точці цього інтервалу.

Механічний зміст другої похідної. Нехай s = s(t) – рівняння прямолінійного руху і відома швидкість v(t) = s¢(t) у мо­мент t, яка змінюється з часом. За час Dt вона зміниться на величину Dv. Середнє прискорення a_c дорівнює відношенню приросту швидкос­ті Dv за час Dt до цього часу: b .

За прискорення в момент t приймають границю середнього при­скорення, коли Dt ® 0. Отже, ,

або, враховуючи, що v(t) = s¢(t), маємо .

Т. ч., прискорення прямолінійного руху – це друга похідна від шляху по часу.

Приклад. Знайти другу похідну функції .

Розв’язання.

Тому

.

Аналогічно можна визначити третю похідну f ¢¢¢(x) (похідну третього порядку) функції y = f (x) у точці x як похідну від її другої похідної. А саме,

.

Похідні вищих порядків позначаються ще й за допомогою римських чисел: y^IV, y^V тощо.

Означення.n-ю похідною (похідною n-го порядку) функції
y = f (x) у точці x називається похідна від її (n – 1)-ї похідної:

f ⁽ⁿ⁾(x) = y⁽ⁿ⁾(x) = (y^{(n – 1)}(x))¢ = .

Нехай функція y = y(x) задана неявно рівнянням

F(x, y) = 0, де y = y(x).

Ми уже знаємо як знайти першу похідну . Другу похідну знаходимо як похідну від , а потім, якщо у виразі для з’явиться , то підставимо її значення.

Приклад. Функція y = y(x)задана неявно рівнянням b²x² +a²y² = a²b². Знайти .

Розв’язання. Знаходимо : ;

; .

Знаходимо : .

В цей вираз підставляємо : .

Використовуючи те, що b²x² + a²y² = a²b², матимемо остаточно

.

Аналогічно знаходимо похідні третього і більш високого порядку.

Нехай функція y = y(x)задана параметрично рівняннями x = x(t), y = y(t).

Ми встановили формулу для її першої похідної: ,

яка, взагалі кажучи, є функцією змінної t. Отже, похідну від пот­рібно знову шукати як похідну функції, заданої параметрично, тобто .

Приклад. Нехай функція задана параметрично: x = Rcos³ t, y = Rsin³ t. Знайти .

Розв’язання. Знаходимо : .

Знаходимо за формулою .