Геометрическое сложение двух векторов

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Отметим, что для скалярных и векторных величин правила сложения и вычитания разные.

Рассмотрим пример (рис. 9.1, а). Для того чтобы попасть из точки А в некоторую точку С, путник сначала проходит путь АВ, до которого 4 kм, затем путь ВС, равный 3 kм и попадает в пункт С; при этом он проходит путь, который вычисляется алгебраическим сложением

.

Расстояние между пунктами А и С можно вычислитьпо теоремеПифагора(рис. 9.1, а):

.

Определим путь АВ вектором , где ; путь – вектором , где . Тогда путь определим вектором , где (рис. 2.1, б). Из рис. 9.1, б видно, что вектор соединяет начало вектора с концом вектора . Треугольник АВС (рис. 9.1, б) называется векторным треугольником.

Вектор называется суммой векторов и . В этом случае пишут:

. (1)

В общем случае, при сложении двухвекторов, приложенных в одну точку А, используют так называемое «правило параллелограмма».

Пример 9.1.Заданы два вектора и , то есть заданы модули векторов: , , а направления векторов относительно оси показаны на рис. 9.2, а. Сложить геометрически заданные векторы.

Решение. Параллельным переносом совместим начало вектора с концом вектора (рис. 9.2, б). Вектор соединит начало вектора (точку ) с концом вектора (точкой ), получим вектор , который является суммой векторов и :

.

Вычислим модуль и направление полученного геометрически вектора . Для этого вычислим угол (рис. 9.2, б):

.

По формуле приведения имеем

Используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.2, б):

Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол , рис. 9.2, в.

Геометрия задачи(рис. 9.2, б).

Рассмотрим . Угол , тогда

.

Рассмотрим . Угол , тогда

Вычислим длину отрезка :

.

Рассмотрим :

;

.

Геометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол .

Правило параллелограмма.Пусть и – два свободных вектора (рис. 9.3, а). Выберем произвольно точку А. Параллельным переносом векторов и , совместим их начало с точкой (рис. 9.3, б). Построим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм . Для этого из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке . Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :

.

Полученный параллелограмм состоит из двух равных треугольников: и . Если вектор параллельным переносом совместим с прямой , получим правило сложения векторов (1) – правило векторного треугольника, рис. 9.3, в.

Операция сложения векторов обладает переместительным (коммутативным) свойством

.

Модуль вектора вычисляется по теореме косинусов (рис. 9.3, в)

.

Итак, сложение двух векторов можно выполнить двумя способами: построением параллелограмма или построением векторного треугольника. Оба графических построения дают один и тот же результат.

Пример 9.2.Заданы два вектора и : , , направления векторов относительно оси показаны на рис. 9.4. Сложить заданные векторы по правилу параллелограмма.

Решение. По условию задачиначало векторов и совпадают, рис. 9.5. Из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке . Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :

.

Геометрия задачи(рис. 9.5)

Рассмотрим . Угол , тогда используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.5, б):

Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол , рис. 9.5, б.

Рассмотрим . Угол , тогда, используя теорему синусов для , получим

;

.

Геометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол . Используя понятия вектора и правила их сложения, можно моделировать и решать реальные физические задачи.

Пример 9.3.Два мальчикакатают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку в плоскости по горизонтали со скоростью , второй – под углом к нему со скоростью (рис. 9.6, а). Вычислить направление движения тележки.

Решение.Скорость движения любого объекта являетсявекторной величиной, т.к.она определяет и направление движения, и изменение пройденного пути со временем, т. е. величину скорости.

Поэтому направление движения тележки определяется направлением вектора скорости тележки .

Изобразим скорость движения мальчиков, катающих тележку через векторы, направление которых задано, рис. 9.6, б.

Вычислим направление скорости тележки. Сложим геометрически векторы и , отложенные в масштабе 1:2 от точке , рис. 9.6, в:

.

Геометрия задачи

Рассмотрим и вычислим угол (рис. 9.6, в):

.

Используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.6, в):

Определим направление движения тележки оси , т. е. вычислим угол , рис. 2.6, г.

Рассмотрим . Угол , тогда, используя теорему синусов для , получим

.

Измерив полученную диагональ (рис.9.6,в), убедимся, что Измерив транспортиром угол , убедимся, что .

Пример 9.4.Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом к вертикали, рис. 9.7. Скорость движения автомобиля 60 км/ч. Определить, с какой скоростью падают капли дождя.

Решение. Изобразим движение автомобиля, капель дождя на стекле автомобиля, и сам дождь через векторы, направление которых задано, рис. 9.7. Дождь на автомобиль падает вертикально, следовательно, вектор скорости выбранной капли направлен вертикально, обозначим скорость как вектор ; относительно Земли скорость автомобиля обозначим вектором : скорость движения капли дождя по боковому стеклу автомобиля обозначим через вектор (рис. 9.8, а). Тогда вектор скорости капли дождя можно представить в виде геометрической суммы векторов и .

По условию задачи известно, что , .

Геометрия задачи

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, рис. 9.8, б.

Рассмотрим :

.

Подставим заданные значения, получим скорость падающей капли дождя:

.

Пример 9.5.На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы и (рис. 9.9). Вычислить модуль равнодействующей силы , сжимающей головку сыра, если она направлена вертикально. Вычислить модуль силы . Дано: , , .

Решение. Изобразим действующие на пресс силы через векторы, направление которых задано, рис. 9.9, б. Геометрическая сумма заданных сил равна равнодействующей силе , которую вычислим по правилу параллелограмма:

.

Диагональ параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим ,
рис. 9.9, б:

.

По теореме синусов, получаем

.

Здесь

; .

Итак,