Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ; (5)
Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru (6)

Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.

С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru (7)
Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru (8)

Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ; (9)
Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . (10)

Учитывая, что для линии без потерь Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , после подстановки соотношения (10) в (9) получим

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . (11)

Аналогично получается уравнение для тока

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . (12)

Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ;

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ,

где Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

При расчете переходных процессов следует помнить:

  1. В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
  2. Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
  3. Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.

Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии

При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и тока Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , а ток - Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru

Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru

В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.

В момент времени Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ,

откуда Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.

В момент времени Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , приходит к источнику, поддерживающему напряжение Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . В результате возникает волна напряжения Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и соответствующая волне тока Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru (см. рис. 3,в).

В момент времени Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru (см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru картина процесса соответствует рассмотренной выше. При Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , поскольку в конце линии Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . При Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru и соответствующая ей волна тока Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , обусловливающая ток в линии, равный Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.

Литература

  1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему?
  2. С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами?
  3. Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях?
  4. Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах?
  5. Линия без потерь имеет длину Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru , фазовая скорость волны Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru . При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?

Ответ: Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

  1. При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru ?

Ответ: Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами - student2.ru .

  1. Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.

Лекция N 43

Наши рекомендации