Методика исследования переходных процессов в электрических цепях

2.6.1. Методика исследования переходных процессов в электрических цепях, содержащих катушку индуктивности

Цепь содержит катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивно­стью L = 200 мГн,

R_P = 10 Ом, напряжение источника питания 60 В.

Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Оп­ределить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 2τ.

Схема цепи приведена на рис. 2.42.

Дано: R = 10 Ом

L = 200 мГн

R_P = 10 Ом

U = 60 B

Определить: i = f(t), t,

= f(t), W_м

Рис. 2.42

1. Устанавливаем переключатели в положение 1 (под включение ка­тушки к источнику постоянного напряжения).

До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, т. е. в момент начала переходного процесса (t = 0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т. е. i₀ = 0.

После коммутации ток стремится достигнуть величины установив­шегося тока (i_ycт), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Согласно схеме

U 60

i_ycт = I = ---- = ---- = 6 А,

R 10

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде

i = i_ycт + i_св = i_ycт + A

В этой формуле

i_{св =} A

где i_св - свободная составляющая тока;

А - постоянная интегрирования;

е = 2.71 - основание натурального логарифма;

τ - постоянная времени переходного процесса,

L

τ = --- , где R - величина сопротивления,

R через которое проходит переходный ток;

t - текущее время.

Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение

i = i_ycт + i_cв = i_ycт + A примет вид: i₀ = i_ycт + А, т. к. е⁰ = 1

значит, А = i₀ – i_ycт = 0 – I, то есть А = – I

Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при вклю­чении катушки

i = i_ycт + i_cв = i_ycт + A = I – I = I ∙ (1 – ) ;

В нашем случае i = 6 ∙ (1 – ) ;

Находим постоянную времени переходного процесса

L 200 ∙ 10^-3 0.2

τ = --- = ------------ = ----- = 0.02 c.

R 10 10

Практическая длительность переходного процесса t = 5 τ = 5 ∙ 0.02 = 0.1 с

Строим график переходного тока i = f(t),

задавшись моментом вре­мени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3 τ, t = 4 τ, t = 5 τ.

Значения переходного тока для заданных значений времени:

t = 0, i₀ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – 1) = 0 A;

t = τ, i₁ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – e^-1) = 6 ∙ (1 – 0.367.) = 3.79 A;

t = 2τ, i₂ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е^-2) = 6 ∙ (1 – 0.135) = 5.19 А;

t = 3τ, i₃ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е^-3) = 6 ∙ (1 – 0.049) = 5.70 А;

t = 4τ, i₄ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е^-4) = 6 ∙ (1 – 0.018) = 5.89 А;

t = 5τ, i₅ = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е^-5) = 6 ∙ (1 – 0.007) = 5.96 А.

Строим график i = f(t)

Рис. 2.43

Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы

e_L = – L = – L (I – I ) = – I ∙ L = – I ∙ L ∙ = – I ∙ R ∙ = – U

_i В нашем случае e_L = – 60 В

Значения е для заданных значений времени следующие:

t = 0, e₀ = – 60∙e⁰ = – 60B

t = τ, е₁ = – 60∙е^-1 = – 60 ∙ 0.367 = – 22,02 В;

t = 2τ, е₂ = – 60∙е^-2 = – 60 ∙ 0.135 = – 8.1 В;

t = 3τ, е₃ = – 60∙е^-3 = – 60 ∙ 0.049 = – 2.94 В;

t = 4τ, е₄ = – 60∙е^-4 = – 60 ∙ 0.018 = – 1.08 В;

t = 5τ, е₅ = – 60∙е^-5 = – 60 ∙ 0.007 = – 0.42 В.

Строим график e_L = f(t)

Рис. 2.44

Энергию магнитного поля при t = 2τ можно вычислить так:

L ∙ i₂² 0.2 ∙ 5.19²

W_M = -------- = ------------- = 2.96 Дж

2 2

2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновре­менном ее замыкании на сопротивление).

В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного по­ля непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении контура идет необратимый процесс

превращения электрической энергии в тепловую.

i = i_ycт + i_cв = i_ycт + A

В этом случае i_ycт = 0, т. к. при отключении цепи от источника

ток в цепи будет равен нулю.

Тогда i = A , L 0.2 0.2

где t = -------- = ---------- = ----- = 0.01 c - постоянная времени

R + R_P 10 + 10 20 пере­ходного процесса.

Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение i = A

примет вид:

i₀ = А ∙ е⁰, т. е. i₀ = A,

U 60

но i₀ = --- = ---- = 6 A - согласно первому закону коммутации ток в первый

R 10

момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до ком­мутации.

Значит, А = 6 А, тогда i = 6 ∙ А.

Длительность переходного процесса t = 5τ = 5 ∙ 0.01 = 0.05 с

Строим график i = f(t) (рис. 2.45), задавшись моментами времени t = 0, t = τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.1.

Таблица 2.3.1

t, c		τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, A		2.2	0.81	0.294	0.108	0.012

Строим график i = f(t)

Рис. 2.45

В соответствии с законом изменения ЭДС самоиндукции получим

e_L = – L = – L (I ) = I ∙ L = U

В нашем случае

e_L = U = 60 ∙ В

Строим график e_L = f(t) (рис. 2.46), задавшись моментами времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.2

Таблица2.3.2

t, c		τ	2τ	3τ	4τ	5τ
eL, B		22.02	8.1	2.94	1.08	0.42

Рис. 2.46

2.6.2. Методика исследования переходных процессов

в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление

Цепь с последовательно включенными конденсатором емкостью С = 10 мкФ и сопротивлением R = 2 МОм подсоединяется к источнику по­стоянного напряжения

U = 50 B (переключатель в положении 1). Опреде­лить законы изменения переходных напряжений и тока при заряде кон­денсатора и построить их графики. Затем цепь отключается от источника и одновременно переключатель переводится в положение 2,

R_P = 8 МОм. Определить законы изменения переходных напряжений и тока при разряде конденсатора и построить их графики. Определить практическую дли­тельность заряда и разряда конденсатора и энергию электрического поля при t = 3τ.

Схема цепи приведена на рис. 2.47.

Дано: R = 2 МОм

С = 10 мкФ

R_P = 8 МОм

U = 50 B

Определить: i = f(t), t,

u_c = f(t), W

Рис. 2.47

1. Переключатель в положении 1 (заряд конденсатора). Быстрота заряда конденсатора зависит от параметров цепи и характеризу­ется постоянной времени заряда конденсатора.

τ = R ∙ С = 2 ∙ 10⁶ ∙ 10 ∙ 10^-6 = 20 с

На основании второго закона коммутации получены законы, харак­теризующие напряженно и ток при заряде конденсатора:

u_c = u_уст + u_св = U – U = U ∙ (1 – );

i = i_св = = I ,

где U - напряжение источника,

u_уст - установившееся значение напряжения

при заряде конденсатора.

u_св = – U - свободная составляющая напряжения

при заряде кон­денсатора.

Зарядный ток равен свободной составляющей,

т. к. ток установивше­гося режима равен 0 (i_уст = 0).

Длительность заряда конденсатора t = 5τ = 5 ∙ 20 = 100 с

Вычислим значения напряжения на конденсаторе при его заряде

для значений времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ.

t = 0, u_c0 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – e⁰ ) = 0 B

t = τ, U_c1 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – e^-1) = 50 ∙ (1 – 0.367.) = 31.6 B;

t = 2τ, U_c2 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е^-2) = 50 ∙ (1 – 0.135) = 43.23 B;

t = 3τ, U_c2 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е^-3) = 50 ∙ (1 – 0.049) = 47.51 B;

t = 4τ, U_c4 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е^-4) = 50 ∙ (1 – 0.018) = 49.08 B;

t = 5τ, U_c5 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е^-5) = 50 ∙ (1 – 0.007) = 49.66 B.

Аналогично вычисляем значения зарядного тока согласно закону изменения переходного тока при заряде конденсатора для значений вре­мени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ.

Данные расчета сведены в таблицу 2.3.3.

Таблица 2.3.3

t, c		τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, мкА		9.19	3.38	1.24	0.46	0.17

Согласно полученным результатам строим графики зарядного на­пряжения и тока в зависимости от t (рис. 2.48).

Рис. 2.48

Из построенных графиков u_c(t) и i(t) можно для любого момента времени определить значения u_с и i, а также рассчитать запасенную энер­гию в электрическом поле заряженного конденсатора.

Например, при t = 3τ

C ∙ 10 ∙ 10^-6 ∙ 47.51²

W_Э = -------- = --------------------- = 1128.6 ∙ 10^-4 Дж ≈ 0,113 Дж

2 2

2. Переключатель в положении 2 (конденсатор разряжается через сопротивления R и R_P).

Быстрота разряда конденсатора также зависит от параметров цепи и характеризуется постоянной времени разряда конденсатора.

τ = (R + R_P) ∙ C = (2 ∙ 10⁶ + 8 ∙ l0⁶) ∙ 10 ∙ 10^-6 = 10 ∙ 10⁶ ∙ 10 ∙ 10^-6 = 100 c

На основании второго закона коммутации получены законы, харак­теризующие напряжение и ток при разряде конденсатора:

u_c = u_св = U

i = i_св = – = – I

где U - напряжение заряженного конденсатора до начала разряда.

Разрядные напряжения и ток равны их свободным составляющим, т. к. напряжение и ток установившегося режима после разряда равны 0 (u_{с уст} = 0, i_уст = 0).

Длительность разряда конденсатора

t = 5τ = 100 ∙ 5 = 500 с.

Вычислим значения напряжения на конденсаторе при его разряде

для значений времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ.

t = 0, u_c0 = U = 50e⁰ = 50 B

t = τ, u_c1 = U = 50e^-1 = 18.39 B;

t = 2τ, u_c2 = U = 50е^-2 = 6.77 B;

t = 3τ, u_c2 = U = 50е^-3 = 2.49 B;

t = 4τ, u_c4 = U = 50е^-4 = 0.92 B;

t = 5τ, u_c5 = U = 50е^-5 = 0.34 B.

Аналогично вычислим значения разрядного тока согласно закону изменения переходного тока при разряде конденсатора для тех же значе­ний времени

i = – = ∙ = – 5 ∙ 10^-6 A

Знак "–" говорит о том, что разрядный ток имеет обратное направ­ление зарядному.

t = 0, i₀ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ e⁰ = – 5 ∙ 10^-6 A = – 5 мкА;

t = τ, i₁ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ e^-1 = – 1.84 ∙ 10^-6 A = – 1.84 мкА;

t = 2τ, i₂ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ 0.135 = – 0.68 ∙ 10^-6 А = – 0.68 мкА;

t = 3τ, i₃ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ 0.049 = – 0.25 ∙ 10^-6 А = – 0.25 мкА;

t = 4τ, i₄ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ 0.018 = – 0.092 ∙ 10^-6 А = – 0.092 мкА;

t = 5τ, i₅ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ = – 5 ∙ 10^-6 ∙ 0.007 = – 0.034 ∙ 10^-6 А = – 0.034 мкА.

Согласно полученным расчетам строим графики разрядного напря­жения и тока

в зависимости от τ (рис. 2.49).

Рис. 2.49

Энергия электрического поля конденсатора в момент времени t = 3 τ

C ∙ 10 ∙ 10^-6 ∙ 2.49²

W_Э = -------- = --------------------- = 31 ∙ 10^-6 Дж.

2 2