Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных
 ; | (5) |
 | (6) |
Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим 
и 
. Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.
С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям
 | (7) |
 | (8) |
Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:
 ; | (9) |
 . | (10) |
Учитывая, что для линии без потерь 
, после подстановки соотношения (10) в (9) получим
 . | (11) |
Аналогично получается уравнение для тока
 . | (12) |
Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения
;
.
Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн
и 
,
где 
.
При расчете переходных процессов следует помнить:
- В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
- Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
- Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.
Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.
Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии
При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины 
, и 
возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения 
и тока 
, перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно , а ток - 
.
Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.
Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.
В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно и , что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.
В момент времени 
волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то
,
откуда 
и 
.
В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.
В момент времени 
, обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение 
, приходит к источнику, поддерживающему напряжение . В результате возникает волна напряжения 
и соответствующая волне тока 
(см. рис. 3,в).
В момент времени 
волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ 
и 
(см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью 
.
В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени 
картина процесса соответствует рассмотренной выше. При 
, поскольку в конце линии 
и 
, что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины 
. При 
от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения 
и соответствующая ей волна тока 
, обусловливающая ток в линии, равный 
, и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на .
Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.
Литература
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему?
- С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами?
- Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях?
- Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах?
- Линия без потерь имеет длину
, фазовая скорость волны 
. При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?
Ответ: 
.
- При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота
?
Ответ: 
.
- Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.
Лекция N 43