Закон Био-Савара-Лапласа. Эквивалентность движущегося заряда и элемента тока. Примеры расчета магнитного поля
Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.
Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде
(110.1)
где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведанный из элемента dlпроводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.
Модуль вектора dB определяется выражением
(110.2)
где a — угол между векторами dl и r.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:
(110.3)
Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.
· Магнитное поле прямого провода с током.
· Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что
· 
· (радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна
· 
(110.4)
· Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),
· 
· Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока
· 
(110.5)
· Магнитное поле на оси кругового тока.
Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),
Тогда
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
· Магнитное поле катушки с током.
· Магнитное поле катушки с током возникает в кольцевой катушке (рис. 1) с W витками, равномерно распределенными вдоль немагнитного сердечника при подключении ее к источнику тока. Увеличение магнитной индукции поля достигается увеличением числа витков катушки и размещением ее на стальном сердечнике, магнитные токи которого, создавая свое поле, увеличивают результирующее поле катушки. Поверхность, ограниченная окружностью радиуса R, совпадающей со средней магнитной линией, пронизывается полным током ΣI = IW. Вследствие симметрии напряженность поля Н во всех точках, лежащих на средней магнитной линии, одинакова, поэтому мдс Fм = Hl = IW = H2πR. По закону полного тока Hl = IW, откуда напряженность магнитного поля на средней магнитной линии, совпадающей с осевой линией кольцевой катушки, H = IW / l , а магнитная индукция B = μaH = μaIW / l = 125μIW / l * 10-8.
·
· При R1 - R2 << Rl магнитную индукцию на осевой линии с достаточной точностью можно считать равной среднему значению ее, и, следовательно, магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки Φ = BS = μaIWS / l . Переписав это уравнение в виде Φ = IW / (μaSl) = Fм / Rм , получим выражение, аналогичное уравнению закона Ома для электрической цепи, т. е. полный магнитный поток равен отношению мдс к магнитному сопротивлению цепи. Цилиндрическую катушку (рис. 1, б) можно рассматривать как часть кольцевой катушки с большим радиусом и с обмоткой, расположенной только на части сердечника, длина которой равна длине катушки. Напряженность поля и магнитной индукции на осевой линии в центре цилиндрической катушки определяется по формулам, которые в этом случае являются приближенными и применимы для катушек.
·