Подставим в теорему Гаусса полученные выражения для потока вектора напряженности и суммарного заряда

Запишем теорему Гаусса в общем виде .

Для каждой из рассматриваемых областей пространства мы получили выражения для потока вектора напряженности электрического поля и формулы для вычисления заряда, охватываемого поверхностью интегрирования. Вся система зарядов находится в воздухе, поэтому для всех трех случаев электрическая постоянная равна единице ( ).

Для получения искомой зависимости рассмотрим три выделенные области и запишем для них теорему Гаусса:

I область П область Ш область

Из этих уравнений получим зависимость для каждой области:

.

6.Получим количественный результат для точек, указанных в условии задачи (r₁ = 5 см, r₂ = 9 см и r₃ = 15 см ).

Напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 5 см будет равна нулю, т.к. точка лежит в первой из рассмотренных областей :

Вторая точка находится во второй области. Подставим численные значения:

Для третьей точки получаем:

7. Построим график зависимости величины напряженности Е электрического поля заряженных сфер от расстояния от рассматриваемой точки до центра сферических поверхностей .

Мы получили три функции для трех областей пространства:

; ; .

Из полученных выражений видно, что в первой области напряженность поля постоянна и равна нулю; во второй и третьей областях зависимость от расстояния представляет собой квадратичную гиперболу, но числители функций различны .Для построения графика получим численные значения напряженности поля в некоторых точках:

.

Учитывая полученные значения, выберем масштаб и нарисуем график полученной зависимости.

Пример 3.2.2. Имеется плоскопараллельная пластина толщиной d = 3 см равномерно заряженная по объему с плотностью r = 2×10^-8 Кл/м³. Диэлектрическая проницаемость материала пластины e=2.

1) Используя теорему Гаусса найдите напряженность электрического поля внутри пластины и вне нее, как функцию расстояния от центра пластины.

2) Постройте график зависимости .

Дано:

d = 3 см

r = 2×10^-8 Кл/м³;

r₁ = 1 см;

r₂ = 3см;

Е = f(r) = ?

Анализ: Задачи о вычислении напряженности поля, создаваемого симметричным распределением заряда, решаются с использованием теоремы Гаусса. Формулировка теоремы: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равняется алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрические постоянные.

, где .

Угол α – это угол между вектором и вектором нормали к поверхности интегрирования .

При применении теоремы Гаусса для расчета напряженности поля некоторого заряженного тела удобно действовать по определенному алгоритму.

1. Необходимо нарисовать картину силовых линий заданного распределения зарядов.

В нашей задаче пластину считаем бесконечно протяженной, и поэтому в каждой точке пространства напряженность поля будет направлена перпендикулярно пластине. Силовые линии будут представлять собой параллельные прямые, перпендикулярные пластине. Начало оси координат выбираем в средней точке пластины, а саму ось направляем вдоль силовых линий

2.Выбрать поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи, таким образом, чтобы силовые линии поля либо скользили по поверхности, либо были ей перпендикулярны.

Учитывая симметрию задачи, выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра радиуса R и высотой H (можно было бы и в виде прямоугольного параллелепипеда). Рисунок выполнен в сечении, перпендикулярном самой заряженной пластине. Сечение выбранной поверхности изображено прерывистой линией. Нарисовано два цилиндра, оси которых совпадают с силовыми линиями электростатического поля, для двух случаев определения напряженности поля - внутри и вне пластины. Основания цилиндров симметричны относительно середины пластины. Точка, в которой мы хотим вычислить величину вектора Е должна находится на основании цилиндра.

3. Вычислим поток вектора через выбранную поверхность.

Полный поток можно сосчитать как сумму потоков через два основания цилиндра и через его боковую поверхность

.

Как видно из рисунка, a₁ = 0⁰, а a₂ = 90⁰, следовательно, поток отличен от нуля только для двух оснований.

С учетом этого получим

.

Перед первым интегралом стоит множитель «2», т.к. два основания симметрично расположены и модуль вектора Е на равных расстояниях от пластины будет одинаков, поэтому его можно вынести за знак интеграла.

4. Запишем выражение для заряда, охватываемого этой поверхностью.

.

а). Если искомая точка лежит внутри пластины, то V = S_осн2r, где r – расстояние от центра пластины. Поверхность интегрирования вся расположена внутри пластины. .

б). Если искомая точка лежит вне пластины, то V = S_осн d. Высота поверхности интегрирования Н больше толщины пластины d. Заряд находится только внутри пластины. .

5. Воспользуемся теоремой Гаусса:

Подставим выражения, полученные в пунктах 3 и 4 в левую и правую части теоремы. .

Из полученного уравнения можно получит формулу, дающую зависимость напряженности поля Е от расстояния r до центра пластины.

а) Внутри пластины применение теоремы Гаусса приводит к уравнению , из которого получаем искомую зависимость - напряженности поля внутри пластины от расстояния r. e – диэлектрическая проницаемость материала заряженной пластины, по условию e = 2. Полученная зависимость – линейная, т.е. напряженность поля прямо пропорциональна расстоянию r.

б) Вне пластины получили следующее уравнение . В этом случае получаем следующую зависимость - напряженность поля вне пластины. Пластина находится в воздухе; Диэлектрическая проницаемость для воздуха равна единице. Величина напряженности поля вне пластины не зависит от расстояния r, как видно из формулы. Следовательно поле однородное.

Построим график зависимости Е от r. Внутри пластины напряженность поля линейно возрастает с увеличением r. Вне пластины поле однородное. Проекции вектора на ось имеют разные знаки, поскольку силовые линии направлены от центра пластины в противоположные стороны.

Скачок значения напряженности при
r = ±d/2 происходит из-за изменения диэлектрической проницаемости среды. Внутри пластины она равна e₁ = 2, а вне нее e₂ = 1, поэтому напряженность поля скачком увеличивается в два раза.

Пример 3.2.3

Имеется длинный заряженный равномерно по объему цилиндр радиуса R₀ = 2 см, с e₁ = 5. Плотность зарядов постоянна и равна r = 4 нКл/м³.

Найти напряженность поля в точках, расположенных на расстояниях r₁ = 1 см и r₂ = 3 см от оси цилиндра. Построить график зависимости Е(r).
r – радиальная координата.

Анализ и решение:1. Необходимо нарисовать картину силовых линий заданного распределения зарядов.

Симметрия заданного распределения заряда позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией, т.е. cиловые линии – радиальные прямые, перпендикулярные оси цилиндра. На рисунках показаны силовые линии поля цилиндра: а) ход силовых линий показан в плоскости сечения, проходящей через ось цилиндра; б) ход силовых линий показан в плоскости сечения, перпендикулярной оси цилиндра.

2.Выбирем поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи, таким образом, чтобы силовые линии поля либо скользили по поверхности, либо были ей перпендикулярны.

Замкнутую поверхность для нахождения потока в случае радиально симметричного поля удобно выбрать в виде цилиндра, ось которого совпадает с осью заряженного тела; высота цилиндра выбирается произвольно.

При решении нашей задачи надо найти напряженность в двух случаях: а) когда r < R₀; б) когда r > R₀.

Поверхности для этих случаев изображены на рисунках пунктирной линией. Они отличаются радиусами. Каждый раз радиус поверхности интегрирования равен расстоянию от оси до точки, в которой находится поле.

3. Вычислим поток вектора через выбранную поверхность.

Полный поток через замкнутую поверхность можно представить как сумму потоков через два основания цилиндра и через его боковую поверхность

.

Как видно из рисунка, a₁ =90⁰, а a₂ = 0⁰, следовательно, поток отличен от нуля только для боковой поверхности.

С учетом этого получим

.

Перед первым интегралом стоит множитель «2», т.к. два основания симметрично расположены и модуль вектора Е на равных расстояниях от пластины будет одинаков во всех точках оснований и в данном случае будет равен нулю.

Модуль вектора Е на равных расстояниях от оси цилиндра будет иметь одинаковые значения и поэтому при вычислении потока вектора Е через боковую поверхность цилиндра его можно вынести за знак интеграла

.

4. Запишем выражение для заряда, охватываемого поверхностью интегрирования.

.

а) Интересующая нас точка находится внутри заряженного цилиндра, поэтому выбранная поверхность охватывает заряд, находящийся внутри цилиндра радиусом r и высотой h :

.

б) Интересующая нас точка находится внt заряженного цилиндра, поэтому выбранная поверхность интегрирования охватывает заряд, находящийся внутри цилиндра радиуса R₀, т.к. заряд находится только внутри цилиндра радиуса R₀, а дальше его нет и высотой h :

,

5. Воспользуемся теоремой Гаусса:

Подставим выражения, полученные в пунктах 3 и 4 в левую и правую части теоремы Гаусса. Из полученного уравнения, выразим Е. Получаем:

.

а) Для точек, лежащих внутри цилиндра, получаем:

;

где e₁ – диэлектрическая проницаемость материала заряженного цилиндра, по условию e₁ = 5;

Отсюда получаем формулу зависимости напряженности поля заряженного цилиндра для точек, лежащих внутри цилиндра

;

Для точки, находящейся на расстоянии r₁ = 1 см от оси цилиндра напряженность поля равна:

.

б) Для точек, лежащих вне цилиндра, запишем уравнение

;

Из которого получим формулу для вычисления напряженности поля для точек, лежащих вне цилиндра:

;

где e₂ - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей заряженный цилиндр, e₂ = 1 т.к. цилиндр находится в воздухе.

Для точки, находящейся на расстоянии r₂ = 3 см от оси цилиндра напряженность поля равна:

.

Построим график зависимости E = f(r).

Внутри цилиндра радиуса R₀ зависимость Е от r имеет вид

, где r – любое расстояние меньшее R₀, т.е. зависимость линейная и график – прямая линия.

Вне цилиндра , где r – расстояние, большее R₀, величина Е обратно пропорциональна расстоянию r до оси цилиндра, следовательно, график представляет собой гиперболу.

При переходе из цилиндра в воздух Е скачком возрастает из-за изменения диэлектрической проницаемости среды.