Нелинейные цепи. Аппроксимация характеристик.

Множество важнейших процессов (нелинейное усиление, модуляция, детектирование, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) осуществляется в радиоэлектронных устройствах с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных нелинейных элементов практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удается идеализировать с точки зрения их безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.2.1. Согласно этой схемы, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь).

Рисунок. 2.1. Структурная схема нелинейного устройства.

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала.. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществить требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией, которую в общем виде можно записать так:

U_вых(t)=f[U_вх(t)]

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве воздействия рассматривать входное напряжение U_вх(t), а отклика – выходной ток i_вых(t), связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

i_вых(t)=f[u_вх(t)]

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольт-амперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладают и нелинейный двухполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольт-амперные характеристики ( для нелинейных элементов их получают экспериментально0 большинства нелинейных элементов имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. В радиоэлектронных устройствах широко используются аналитические методы представления нелинейных характеристик различных приборов относительно простыми функциями (или их набором), приближенно отражающими реальные характеристики. Нахождение аналитической функции по экспериментальной характеристике нелинейного элемента называется аппроксимацией. Существуют несколько способов аппроксимации характеристик – степенная, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломанная аппроксимация). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация.

Аппроксимация степенным полиномом.Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах (как правило, доли вольта) входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенного полинома используется ряд Тэйлора

i(u)=a_o+a₁(u-U_o)+a₂(u-U_o)²+…+a_n(u-U_o)ⁿ, (2.1)

где a_o, a₁,… a_n – постоянные коэффициенты; U_o – значение напряжения u, относительно которого ведется разложение в ряд и называемое рабочей точкой. Отметим, что здесь и далее аргументt у функций тока и напряжения для упрощения опущен. Постоянные коэффициенты ряда Тэйлора определяются известной формулой

a_n= (2.2)

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от трубуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй – третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда необходимо задаться диапазоном U₁, U₂ нескольких возможных значений напряжения u и положением рабочей точки U_o в этом диапазоне. Если требуется определить n коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается n+1 точек со своими координатами (i_n,u_n). Для упрощения расчетов одну точку совмещают с рабочей точкой U_o, имеющей координаты (I_o, U_o); еще две точки выбираются на границах диапазона u=U₁ и u=U₂. Остальные точки располагаются произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2.1), составляют систему их n+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов a_n ряда Тэйлора.

Рис.2.2. Аппроксимация характеристики транзистора степенным полиномом.

Пример 2.1. На рис. 2.2 штриховой линией представлена входная характеристика I_б=f(U_бэ) транзистора КТ601А. Аппроксимировать заданную характеристику транзистора в диапазоне 0,4…0,8 В полиномом Тэйлора второй степени i_б=a_o+a₁(u_бэ-U_o)+a₂(u_бэ-U_o)² относительно рабочей точки U_o=0,6 В.

Решение. Для упрошения расчетов в качестве точек аппроксимации выберем значения напряжений на границах диапазона и в рабочей точке , т.е. 0,4; 0,6 и

0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим следующую систему уравнений:

0,1=a_o+ a₁(0.4-0.6)+ a₂(0.4-0.6)²= a_o-0.2a₁+0.04 a₂

0.5= a_o+ a₁(0.6-0.6)+ a₂(0.6-0.6)²= a_o

1.5= a_o+ a₁(0.8-0.6)+ a₂(0.8-0.6)²= a_o+0.2a₁+0.04 a₂

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов a_o=0,5 мА, a₁=3,5 мА/В, a₂=7,5 мА/В². Подставив их в формулу (2.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рисунке сплошной линией): i_б=0.5+ 3.5(u_б-0.6)+7.5(u_б-0.6)².

Кусочно-линейная аппроксимация. В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительный амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики Е_н и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

S= (2.3)

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде:

i={ 0, u<E_н

i={ S(u-E_н), u>E_н (2.4)

Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

Пример 2.2. Экспериментально снятая входная характеристика I_б=f(U_бэ) транзистора КТ601А представлена на рис. 2.3. штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки U_o=0,6 В.

Решение. В соответствии с заданной вольтамперной характеристикой транзистора находим, что величина тока в рабочей точке I_о=0,5 мА. Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближенно по формуле (2.3). Задав линейное приращение напряжения ∆u_бэ = 0.8 - 0.6 = 0.2 B, находим приращение тока ∆i _б=

=1.5-0.5=1 мА. Тогда S=∆i_б/∆u_б=1/0.2=5 мА/В.

Рис.2.3. Кусочно-линейная аппроксима- ция характеристики транзистора.

В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатамиI_о=0,5 мА, U_o=0,6 В. Определится как : i_б=0,5+5(u_бэ-0,6)=5(u_бэ-0,5).

Из этой формулы следует, что при u_бэ<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u_бэ>0,5 В. Если же входное напряжение u_бэ<0,5 В, то можно принять i_б=0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i={ 0, u_бэ<0,5

i={ 5(u_бэ-0,5), u_бэ>0,5

Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.

Лекция №9.