Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если элементы электрической цепиR, L и Сзависят от воздействия, то цепь описывается нелинейнымдифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC-контура, сопротивление которого зависит от напряжения u_c, получим:

. (2.1)

Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е. нелинейная характеристикаi = F(u). На рисунке 2.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Рисунок 2.1 – ВАХ нелинейного элемента

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

, (2.2)

где U₀ – приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение; I₀ = F(U₀) –протекающий по цепи постоянный ток. Это сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U₀ + U_mcoswt, причем амплитудаU_m, переменной составляющей достаточно мала, так что тот небольшой участок ВАХ, в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I₀ + I_mcoswt.

Определим сопротивлениеR_диф как отношение амплитуды переменного напряжения U_mк амплитуде переменного токаI_m (это отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di):

. (2.3)

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в видеR_диф=du/di. Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействие. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au². Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u₁ + u₂, то откликi = a (u₁ + u₂)² = au₁² + au₂² + 2au₁u₂ отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au₁² + au₂²) наличием компоненты 2au₁u₂, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей. Пустьu = u₁ + u₂ = U_m1cosw₀t + U_m2cosWt , где U_m1 и U_m2 – амплитуды напряжений u₁ и u₂.

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = au² будет иметь вид:

(2.4)

На рисунке 2.2 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми, несодержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле нелинейные цепи широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

Рисунок 2.3 – Спектр тока квадратичного нелинейного элемента