Свободные затухающие колебания

Цель работы: с помощью прямоугольных импульсов получить в колебательном контуре затухающие колебания и визуализировать их на экране осциллографа, получить фазовые кривые затухающих колебаний, научиться определять характеристики затухания.

Оборудование: генератор электрических колебаний звуковой частоты ГЗЧМ, осциллограф MOS-620, модуль МО3 лабораторного комплекса ЛКЭ-6

Введение

Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазистационарным). Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Далее мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 1). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума. С этого момента ток, не меняя направ­ления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обрат­ном направлении и т. д. — процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводников R ≠ 0, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.

Рисунок 1. Идеальный колебательный контур

Рисунок 2. Реальный колебательный контур

Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э. д. с. ξ (рис.2).

Прежде всего, выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется как

. (1)

Следовательно, если I > 0, то и dq > 0, и наоборот (знак I совпадает со знаком dq).

Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2

, (2)

где ξ_s – э. д. с. самоиндукции. В нашем случае ξ_s = – LdI/dt и φ₂– φ_{1 =} q/C (знак q должен совпадать со знаком разности φ₂– φ₁ ибо C > 0). Поэтому уравнение (2) можно переписать в виде

(3)

или с учетом (1) и после деления на L как

. (4)

Это есть уравнение колебательного контура – линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найдя с помощью этого уравнения q(t), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как U_c = φ₂ – φ₁= q/C и силу тока I по формуле (1).

Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:

, (5)

где введены обозначения

2β = R/L, . (6)

Величину ω₀ называют собственной частотой контура, β – коэффициентом затухания, с^-1.

Если в контуре нет внешней э. д. с. ξ и активного сопротивления, то контур считается идеальным и колебания в таком контуре являются свободными незатухающими. Их уравнение – частный случай уравнения (5), когда ξ = 0 и R = 0:

. (7)

Решением этого уравнения является функция

q = q_mcos (ω₀t+α), (8)

где q_m— амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ω₀ — собственная частота контура; α — начальная фаза. Значение ω₀ определяется только свойствами самого контура, значения же q_m и α — начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда q и тока I = в момент t = 0.

Согласно (6) , поэтому период свободных незатухающих колебаний

(9)

(формула Томсона).

Найдя ток I (дифференцируя уравнение (8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. В реальном контуре свободные колебания будут затухающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (5) ξ = 0. Тогда

. (10)

Рисунок 3. Затухающие колебания

При решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид

(11)

где

, (12)

a q_mи α – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (11) показан на рис. 3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания.

Величину T = 2π/ω называют тем не менее периодом затухающих колебаний:

. (13)

где T₀ – период свободных незатухающих колебаний.

Множитель в (11) называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость ее от времени показана пунктиром на рис. 3. Зная q(t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе

. (14)

Ток в контуре

.

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение , а затем введем угол δ по формулам

–β/ω₀ = cos δ, ω/ω₀= sin δ. (15)

После этого выражение для I примет вид:

. (16)

Из (15) следует, что угол δ находится во второй четверти (π/2 < δ < π). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение (14) на конденсаторе более чем на π/2.

Графики зависимостей U_c(t) и I(t) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 3 для q(t).

Величины, характеризирующие затухание.

1. Коэффициент затухания β и время релаксации τ – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (11) нетрудно видеть, что

τ = 1/β. (17)

2. Логарифмический декремент зату­хания λ. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т:

, (18)

где а – амплитуда соответствующей величины (q, U, I).

Или иначе:

, (19)

где N_e – число колебаний за время τ, т.е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Это легко получить из формулы (17) и (18).

Если затухание мало (β² >> ω²), то ω и согласно (18)

. (20)

3. Добротность Q колебательного контура. По определению

, (21)

где λ – логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (β² << ω²) согласно (20) добротность

. (22)

И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затухания

, (23)

где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период колебания Т. В самом деле, энергия W пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, . Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W = 2βT = 2λ. Остается учесть согласно (21), что λ = π/Q.

В заключение отметим, что при β² >> ω² вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

. (24)

В ряде случаев удобно изучать колебательные процессы в системе координат . Плоскость таких координат называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью, а кривая, изображающая зависимость этих координат – фазовой кривой(фазовой траекторией). В механике такими координатами являются перемещение и скорость, а для электромагнитных колебаний в контуре – заряд и сила тока. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду. Поэтому зависимость силы тока в колебательном контуре от напряжения на конденсаторе является фазовой кривой.

Таким образом, фазовая кривая представляет собой результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты с постоянными взаимосвязанными амплитудами – эллипс (см. введение к лабораторной работе № 3). В случае затухающих колебаний полуоси эллипса (амплитуды колебаний) монотонно уменьшаются со временем и фазовая траектория получается незамкнутой – имеет вид спирали (рис. 4).

Рисунок 4. Фазовая кривая

В данной лабораторной работе затухающие колебания будут изучаться на основе прямоугольного импульса. Прямоугольный импульс состоит из чередующихся мгновенных возмущений и полупериодных постоянных составляющих. После каждого возмущения на вынужденные колебания накладываются свободные затухающие гармонические колебания. Они-то нас и интересуют. Для напряжения на конденсаторе точкой равновесия в каждом полупериоде является значение постоянной составляющей вынуждающего напряжения. Здесь релаксация свободных колебаний наблюдается, чередуясь, то сверху, то снизу. Но конденсатор является разрывом цепи постоянного тока, поэтому постоянные составляющие прямоугольных импульсов не вызывают тока через резистор с соответствующим отсутствием напряжения.

Поэтому резистор реагирует только на мгновенные возмущения, то есть на нем имеют место только свободные релаксирующие колебания. При этом затухающие гармонические импульсы следуют друг за другом каждые полпериода вдоль одной – нулевой – линии. Затухающие колебания хорошо просматриваются, если подобрать частоту прямоугольных импульсов таким образом, чтобы время релаксации гармоник составляло три четверти полупериода.

Если рассматривать фазовую кривую затухающих колебаний на основе прямоугольного вынуждающего импульса в последовательном колебательном контуре, то в рамках периода прямоугольного импульса вместо одной спирали будут наблюдаться две – одна на подъеме импульса, а другая на спаде, причем в соответствии с механизмом формирования импульса и обстоятельствами протекания релаксационного процесса конец одной спирали будет совпадать с началом другой.

Порядок выполнения работы

16. Соберите последовательный колебательный контур по схеме на рисунке 5. На ГЗЧМ установите симметричный прямоугольный сигнал частотой 300 Гц и амплитудой 2 В. Осциллограф настройте на двухканальный режим. Для этого в зоне VERTICAL установите переключатель MODE в положение DUAL.

17. Включите осциллограф и ГЗЧМ. На экране осциллографа должны появиться две цепочки затухающих синусоидальных колебаний, происходящих на конденсаторе и на резисторе. Ориентируясь на сигнал с резистора, подберите частоту ГЗЧМ таким образом, чтобы затухание свободных составляющих было хорошо видно. Ну и чтобы затухание было визуально полным в пределах полупериода.

18. Зарисуйте картину затухающих колебаний с отображением масштаба по осям координат.

19. Измерьте по шкале осциллографа величину двух произвольных соседних амплитуд, найдите натуральный логарифм отношения большей амплитуды к меньшей. Это логарифмический декремент затухания. Оцените погрешность измерения.

20. Чтобы получить фазовые кривые, переведите в зоне HORIZONTAL ручку TIME/DIV в положение XY. Подстройте осциллограф для наилучшего наблюдения двух связанных спиралей. Выделите на экране одну из них.

21. Зарисуйте спираль с отображением масштаба по осям координат.

22. Определите величину радиусов (амплитуд) двух соседних витков вдоль одной линии выделенной спирали. Найдите натуральный логарифм отношения большего радиуса к меньшему. Это также логарифмический декремент затухания. Оцените погрешность измерения.

Рисунок 5. Последовательный колебательный контур

23. Учитывая, что индуктивность соленоида L = 4,64 мГн, емкость конденсатора С7 = 0,1 мкФ, суммарное активное сопротивление соленоида и резистора R3 = 18,4 Ом, найдите критическое сопротивление по формуле (24) и логарифмический декремент затухания по формуле (20).

24. Усредните три полученных результата по логарифмическому декременту затухания, найдите абсолютную и относительную погрешность усреднения. Укладывается ли итоговое значение в диапазоны, рассчитанные для п. 3 и п. 5?

25. Разберите схему, выключите питание, уберите оборудование.

26. Подготовьте отчет по работе.

Контрольные вопросы

1. Начертите схему колебательного контура для затухающих колебаний и обозначьте входящие в него элементы.
2. Начертите график затухающих колебаний и дайте определение декремента затухающих колебаний, логарифмического декремента затухания.
3. Поясните физический смысл добротности контура.
4. Напишите закон изменения амплитуды затухающих колебаний со временем и начертите график этой зависимости.
5. Являются ли затухающие колебания гармоническими?
6. Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и пояснить смысл каждого слагаемого в уравнениях.
7. Как будет меняться характер колебаний при увеличении активного сопротивления контура? Анализ подтвердите расчетом.
8. Как изменится частота колебаний контура, если в его катушку ввести железный (медный) сердечник? если увеличить расстояние между пластинами конденсатора?
9. Могут ли существовать колебания в контуре при R 0? При L 0?
10. Покажите, что при малом затухании (b << ω₀) добротность определяется выражением Q ω₀L/R = ω₀/2b.
11. Покажите, что при малом затухании Q R_кр/2R.
12. Какова энергия конденсатора в колебательном контуре в моменты максимумов тока в катушке в случае, когда сопротивление ничтожно мало?

Литература

1. Калашников С. Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003, 624 с.
2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983, 463 с.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. III. Электричество. М.: Физматлит, 2002, 656 с.

Лабораторная работа № 5

Вынужденные колебания

Цель работы: изучить особенности колебаний в последовательном и параллельном колебательных контурах, получить резонанс напряжений и резонанс токов.

Оборудование: генератор электрических колебаний звуковой частоты ГЗЧМ, осциллограф MOS-620, модуль МО3 лабораторного комплекса ЛКЭ-6, мультиметр М830В.

Введение

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением R, переменного тока. Под действием внешнего напряжения

U = U_m cosωt (1)

(оно играет роль внешней электродвижущей силы ξ – см. теоретическое введение к лабораторной работе № 3) ток в цепи изменяется по закону

I = I_m cos(ωt - φ),(2)

где

, . (3)

Полученное выражение для амплитуды силы тока I_т(ω) можно формально толковать как закон Ома для амплитуд­ных значений тока и напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину, имеющую размерность сопро­тивления, обозначают буквой Z и называют полным сопротивлением или импедансом:

. (4)

Величину, стоящую в круглых скобках формулы (4), обозначают X и называют реактивным сопротивлением. При этом величину ωL называют индуктивным сопротивлением, а величину 1/ωС – емкостным сопротивлением. Их обозначают соответственно X_L и X_C. Итак,

, , , (5)

Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты ω, а емкостное — уменьшается. Когда говорят, что в цепи отсутствует емкость, то это надо пони­мать в смысле отсутствия емкостного сопротивления, которое равно 1/ωС и, следовательно, обращается в нуль, если С → ∞ (при замене конденсатора закороченным участком).

Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное, между ними существует принципиальное различие. Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

При вынужденных колебаниях в контуре может иметь место резонанс. Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз напряжения и тока равна нулю. Резонансу сопутствует ряд особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.

Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений, резонанс токов, резонанс в магнитно-связанных цепях и другие.

Резонанс напряжений

Он возможен на участке цепи с последовательным соединением элементов R, L и C, то есть в последовательном колебательном контуре. Активное сопротивление может быть как сопротивлением специально включенного резистора, так и сопротивлением проводов катушки индуктивности.

Из определения следует, что угол сдвига фаз при резонансе равен нулю. Такой угол сдвига фаз можно получить тремя способами: изменением частоты ω напряжения питания, изменением индуктивности или емкости, однако в любом случае явления в цепи при резонансе одинаковые.

При φ = 0 из (3) следует, что X_L = X_C. При учете (5) при резонансе , где ω₀ – собственная частота колебательного контура, которую мы будем называть также резонансной частотой.

Сопротивление реактивного элемента при резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением колебательного контура:

. (6)

Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура называется добротностью последовательного контура

Q = ρ/R. (7)

При резонансе напряжений полное сопротивление участка цепи активное:

(8)

и минимально при заданном R. Ток максимален. Это свойство позволяет обнаружить резонанс напряжений при изменении ω, L или C. Однако резонансный ток при определенных условиях опасен – он может привести к перегреву элементов цепи и выводу их из строя.

Напряжения на отдельных участках контура:

U_R = R I_рез, U_L = X_L I_рез, U_C = X_C I_рез. (9)

Так как при резонансе X_L = X_C, то напряжения на участках контура с реактивными элементами равны (U_L = U_C), напряжение на участке с активным элементом равно напряжению питания на выводах контура и совпадает с ним по фазе: U_R = U.

Если X_L = X_C > R, то U_L = U_C > U_R = U, то есть напряжение на участках с реактивными элементами больше, чем напряжение питания. Это свойство – усиление напряжения – является важнейшей особенностью резонанса напряжений и широко используется в технике. Коэффициент усиления напряжения равен добротности контура

Вместе с тем значительное повышение напряжения на реактивных элементах при резонансе может привести к пробою изоляции и опасно для обслуживающего персонала.

Активная мощность при резонансе максимальна, так как U_R = R , а ток I_рез максимален. Реактивные мощности равны, так как . Равны, но противоположны по знаку мгновенные реактивные мощности: , . Это значит, что в те интервалы времени, в течение которых энергия накапливается в магнитном поле индуктивного элемента, она поступает из электрического поля емкостного элемента. Происходит обмен энергией между реактивными элементами контура. Источник питания в этом обмене не участвует.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает при вынужденных колебаниях в разветвленной цепи, в которой одна из ветвей содержит конденсатор емкостью С, а другая – катушку индуктивности L. Катушка индуктивности всегда обладает активным сопротивлением R. Такая цепь представляет собой параллельный колебательный контур (рис. 1). Источник выдает переменное синусоидальное напряжение: U = U₀ sinωt. Суммарная сила тока I равна: I = I_L + I_C.

Для этой цепи векторная диаграмма токов представлена на рис.2. На рисунке колебания вынуждающего напряжения изображаются вектором U, направленным вдоль оси напряжений. Тогда колебания тока в ветви, содержащей индуктивность L, изобразятся вектором I_0L. Его длина, соответствующая амплитуде тока, находится из общего выражения для амплитуды тока при вынужденных колебаниях:

, (11)

в котором нужно положить С = ∞, так как емкостное сопротивление в этой ветви отсутствует.

Рисунок 1. Параллельный контур

Рисунок 2. Векторная диаграмма токов

Таким образом,

, (12)

где R – активное сопротивление катушки индуктивности. Этот вектор повернут относительно оси напряжений на угол φ_L в отрицательном направлении, так как ток в катушке отстает по фазе от напряжения. Этот фазовый угол определяется формулой:

. (13)

Колебания тока в конденсаторе изображаются вектором I_0L, повернутым

относительно оси напряжений на угол +π/2, так как колебания тока в цепи, содержащей емкость, опережают напряжение на емкости на угол +π/2. Его длина, соответствующая амплитуде тока, находится из выражения (1) при L = R = 0: I_0C = U₀ωC.

Колебания суммарного тока определяются векторной суммой векторов I_0L и I_0C, т. е. вектором I₀. Его длина есть амплитуда суммарного тока, а угол φ, образованный этим вектором с осью напряжений, – это угол, на который колебания тока опережают по фазе колебания напряжения. Таким образом, колебания полного тока выражаются формулой:

I = I₀ sin(ωt+φ). (14)

Если в цепи, изображенной на рис. 1, изменять L или С, или частоту генератора ω, то изменяется амплитуда суммарного тока и сдвиг фаз между током и напряжением. При некотором соотношении между L, С и ω сдвиг фаз становится равным нулю, и, следовательно, контур ведет себя как чисто активное сопротивление. Этот частный случай вынужденных колебаний в

разветвленной цепи соответствует режиму резонанса токов. Термин «резонанс токов» здесь используется потому, что, когда собственная частота свободных колебаний колебательного контура становится равной частоте вынужденных колебаний, величины токов I_L и I_C внутри контура значительно превышают величину суммарного тока, возбуждающего контур. Векторная диаграмма токов, соответствующая резонансу, показана на рис. 3.

Обычно в катушке индуктивности ωL >> R и угол φ_L очень близок к –π/2. Так как ток I_C в другой ветви опережает напряжение на угол +π/2, то оба тока, I_L и I_C, обладают разностью фаз, близкой к π, т.е. находятся в противофазах. Поэтому суммарный ток I₀ равен приблизительно разности токов I_L и I_C . При резонансе суммарный ток I₀ становится наименьшим (сравните рис. 2 и 3), и, следовательно, сопротивление контура достигает наибольшего значения. Это сопротивление, однако, не равно активному сопротивлению R, включенному в контур, а зависит от L и С. Если бы сопротивление R было равно нулю, то разность фаз между токами I_L и I_C была бы точно равна π и оба тока при резонансе точно компенсировали бы друг друга. В этом случае ток I в подводящих проводах был бы равен нулю, хотя каждый из токов I_L и I_C мог бы иметь большие значения. Сопротивление контура при резонансе было бы равно бесконечности.

Рисунок 3. Векторная диаграмма токов при резонансе

Найдем условие, при котором наступает резонанс токов. Из рис. 3 видно, что при резонансе

I_0C = I_0L sinφ_L. (15)

Но из (3) следует, что и

(так как и ).

Подставляя (12) и (14) в (15) и считая, что ω²L² >> R², находим условие резонанса токов:

, (16)

где ω₀ – собственная частота контура. Таким образом, при резонансе токов частота колебаний ω внешнего напряжения должна совпадать с частотой ω₀ собственных колебаний контура в отсутствие затухания.

Найдем амплитуду I₀ суммарного тока при резонансе. Из рис. 3 следует, что:

I₀=I_0Lcosφ_L. (17)

По-прежнему, считая ω²L² >> R², имеем:

. (18)

Поэтому при резонансе резонансное сопротивление контура

. (19)

Если R→0, то R_рез→∞.

Отношение резонансного сопротивления R_рез контура к его активному сопротивлению R равно квадрату добротности контура Q. Из (19) получаем:

(так как ).

Так как на радиочастотах легко добиться добротности контура порядка 10², то отношение R_рез/R можно сделать порядка 10² и выше. Таким образом, для переменного тока с частотой ω₀ (точнее, для узкой полосы частот вблизи ω₀, тем более узкой, чем выше добротность контура) колебательный контур представляет большое сопротивление, тогда как для всех других частот его сопротивление мало. Это позволяет использовать резонанс токов для выделения одного определенного колебания из сигнала сложной формы, что широко используется в практике (резонансные усилители, радиоприемники). Поскольку при резонансе токов силу токов в обеих ветвях контура можно сделать намного больше силы тока в подводящих проводах, то это явление используют при устройстве индукционных печей, в которых нагревание металлов производится вихревыми токами, при питании электромагнитов ускорителей заряженных частиц, а также в других устройствах.

И еще. Реактивные мощности на индуктивности и емкости равны друг другу. Это означает, что, как и при резонансе напряжений, между катушкой и конденсатором происходит обмен энергией, но источник питания в этом обмене не участвует: источник только восполняет потери в активных сопротивлениях контура.

Порядок выполнения работы

1. Соберите последовательный колебательный контур согласно схеме на рис. 4. Здесь V1 – мультиметр М830В в режиме вольтметра, R3 – 10 Ом, С7 – 0,1 мФ, L – 4,64 мГн (активное сопротивление катушки – 8,4 Ом).
2. Установите мультиметр М830В на измерение переменного напряжения (АСV) – режим 200В. Включите ГЗЧМ, установите синусоидальное выходное напряжение по вольтметру 0,2 – 0,5 В частотой 1 кГц. Включите осциллограф, дайте аппаратуре прогреться 1 – 2 мин.

Рисунок 4. Последовательный контур

1. Увеличивая частоту генератора через 1 кГц до 12 кГц, фиксируйте с помощью осциллографа и заносите в таблицу напряжение каждой частоты на резисторе R3 и на конденсаторе С7.
2. Напряжение на вольтметре в процессе измерений должно оставаться постоянным. Запишите его значение.
3. Постройте в одной системе координат графики зависимости U_C(ν) и U_R(ν).
4. Определите по графикам резонансную частоту.
5. Рассчитайте собственную частоту колебательного контура и сравните ее с экспериментально определенной резонансной частотой.
6. Найдите силу тока при резонансе – отношение напряжения на сопротивлении R3 к сопротивлению R3.
7. Запишите собственные умозаключения о соотношении при резонансе между суммарным напряжением на активных сопротивлениях (напряжение на сопротивлении R3 плюс произведение силы тока на активное сопротивление катушки) и входным напряжением (отображаемым на вольтметре).
8. Запишите собственные умозаключения о соотношении между входным напряжением и напряжением на конденсаторе.
9. Подсчитайте характеристическое сопротивление и определите добротность контура, пользуясь формулами (6), (7). Помните, что активное сопротивление контура слагается из сопротивления резистора R3 и активного сопротивления катушки (сопротивлением проводов пренебрегаем).
10. Соберите параллельный колебательный контур согласно схеме на рис. 5. Здесь V – мультиметр М830В в режиме вольтметра, R5 – 910 Ом, R1 – 1 Ом, R6 – 3 Ом, С7 – 0,1 мФ, L – 4,64 мГн (активное сопротивление катушки – 8,4 Ом). Напряжение на резисторе R5 пропорционально общему току I, напряжение на резисторе R1 пропорционально току I_L, напряжение на резисторе R6 пропорционально току I_С.

Рисунок 5. Параллельный контур

1. Увеличивая частоту генератора с 1 кГц до 12 кГц через 1 кГц, фиксируйте с помощью осциллографа и вольтметра и заносите в таблицу напряжение каждой частоты на резисторах.
2. По напряжениям рассчитайте соответствующие токи. Занесите их в таблицу.
3. Постройте в одной системе координат графики зависимости I(ν), I_C(ν) и I_L(ν).
4. Определите по графикам резонансную частоту.
5. Сравните собственную частоту колебательного контура с экспериментально определенной резонансной частотой.
6. Проанализируйте графики на частотах ниже и выше резонансной. Результат анализа в виде качественных рассуждений отразите в отчете. Запишите собственные умозаключения о соотношении при резонансе между токами, текущими через индуктивность и емкость.
7. Запишите собственные умозаключения о соотношении между токами в ветвях параллельного контура и общим током.
8. Коэффициент усиления по току при R₁ = R₂ << X_L = X_C равен добротности контура: Определите добротность.
9. Разберите схему, выключите питание, уберите оборудование.
10. Подготовьте отчет по работе.

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие вынужденных колебаний.
2. Охарактеризуйте реактивное и активное сопротивления.
3. Что общего у последовательного и параллельного колебательных контуров?
4. В чем разница последовательного и параллельного колебательных контуров?
5. Что такое резонанс?
6. Расскажите о резонансе напряжений.
7. Расскажите о резонансе токов.
8. Как связаны характеристическое сопротивление и добротность контура?
9. Отобразите векторные диаграммы напряжений и токов.
10. При каких обстоятельствах имеет место усиление напряжения?
11. При каких обстоятельствах имеет место усиление токов?

Литература

1. Калашников С. Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003, 624 с.
2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983, 463 с.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. III. Электричество. М.: Физматлит, 2002, 656 с.

Лабораторная работа № 6

Анализ спектра колебаний

Цель работы: научиться выделять гармонические составляющие сложных сигналов, определять значения их амплитуд и частот.

Оборудование: