Теорема Гаусса и ее применение к вычислению напряженности полей.

Ранее было показано, что окружающую точечный заряд q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает линии E. Поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству линий, пересекающих эту поверхность, и также равен . Это утверждение справедливо для замкнутой поверхности любой формы.

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено насколько точечных зарядов произвольных знаков . Поток вектора по определению равен

В силу принципа суперпозиции полей

Подставив данное выражение в выражение для потока, получим

Где – нормальная составляющая напряженности поля создаваемого i-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше,

следовательно

Это утверждение носит название теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

В частности, если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , теорема Гаусса имеет следующий вид :

Где интеграл справа берется по объему V , охватываемому поверхностью S, а . Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев просто найти напряженность поля.

Потенциал.

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

, (12)

Где W_р – потенциальная энергия заряда q, называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

.

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

.

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности.

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

В частности, в декартовой системе координат:

; ; ;

откуда .

Выражение в скобках называется градиентом скаляра ???????

. (13)

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент некоторой скалярной величины есть век­торная величина со следующими свойствами. Направление градиента совладеет с направлением, в котором при смещении из данной точ­ки функция возрастает с наибольшей скоростью. Величина по этому направлению дает модуль градиента. Частные про­изводные , , представляют собой проекции гра­диента на оси x,y,z .