Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Закон Кулона.

Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен экспериментально в 1785 году Кулоном. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд. Кулон измерял силу взаимодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и расстояния между ними и пришел к выводу, что сила взаимодействия двух не­подвижных точечных зарядов пропор­циональна величине каждого из заря­дов и обратно пропорциональна квад­рату расстояния между ними. Закон Кулона выражается формулой:

(2)

где k - коэффициент пропорциональности; q₁ и q₂ - величины взаимодействующих зарядов; r - расстояние между зарядами; r - радиус-вектор от одного заряда к другому. В случае одно­именных зарядов сила Fоказывается положительной, что соответ­ствует отталкиванию между зарядами. В случае разноименных заря­дов сила отрицательна, что соответствует притяжению зарядов друг к другу. Закон Кулона справедлив от расстояний 10^{-15 м и до нескольких километров.}

В международной системе единиц (СИ) коэффициент пропорциональ­ности k в законе Кулона равен и выражение за­кона Кулона для зарядов в вакууме приобретает вид:

.

Величину называют электрической постоянной, она имеет раз­мерность электрической емкости, деленной на длину, и равна:

Ф/М.

Подобная запись формулы называется рационализованной, a СИ при­надлежит к рационализованным системам единиц. Закон Кулона для силы взаимодействия зарядов в однородной диэлектрической среде в СИ имеет вид:

(3)

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Результирующая сила , о которой действует на данный за­ряд система N зарядов , определяется:

, (4)

Т.е. определяется векторной суммой сил действующих, на данный заряд q со стороны каждого из зарядов q_i

Потенциал.

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

, (12)

Где W_р – потенциальная энергия заряда q, называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

.

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

.

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности.

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

В частности, в декартовой системе координат:

; ; ;

откуда .

Выражение в скобках называется градиентом скаляра ???????

. (13)

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент некоторой скалярной величины есть век­торная величина со следующими свойствами. Направление градиента совладеет с направлением, в котором при смещении из данной точ­ки функция возрастает с наибольшей скоростью. Величина по этому направлению дает модуль градиента. Частные про­изводные , , представляют собой проекции гра­диента на оси x,y,z .

Задание

1. Изучить теорию и порядок выполнения лабораторной работы.

2. При помощи пантографа зарисовать эквипотенциальные поверх­ности электрического поля для системы электродов - шар-шар, шар-пластина, пластина-пластина.

3. По полученным семействам эквипотенциальных поверхностей построить картину силовых линий моделируемого электростатического поля.

4. По формуле (14) определить среднее значение напряженности поля в 5 - 10 различных точках, находящихся на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей центры электродов и выходящей из ее середины. Нанести эти точки на рисунке с картиной силовых линий.

5. Вычислить потоки напряженности поля через площадки S = IxI см2, центры которых совпадают с точками, в которых опре­делялась напряженность поля.

6. Построить график зависимости значения потоков вектора нап­ряженности от расстояния до центра картины поля.

Выполнение работы

1. Звуковой генератор ГЗ-ЗЗ и вольтметр В7-27 подключить к сети переменного тока напряжением 220 В. Включить тумблеры «сеть» на передних панелях этих приборов.

2. После прогрева приборов в течение 5 минут на звуковом ге­нераторе:

- ручкой "Регулировка выхода" установить выходное напряжение 14B, переключатель "Внутренняя нагрузка" в положение "Выкл”;

- переключатель "Множитель” установить в положение "x1" и плавным вращением ручки "Частота Hz " - частоту 100 Гц;

На вольтметре:

- переключатель рода работы и пределов измерений установить в положение "100 V ~".

3. На поверхности стола:

- укрепить с помощью постоянных магнитов и металлических дис­ков лист чистой (миллиметровой) бумаги форматом 250 х 350 мм (200 х 300 мм).

4. Опустить в ванну два шарообразных электрода.

5. Пантографом:.

- нанести на бумагу форму, размеры и положение электродов. Для этого, перемещая зонд по контуру одного из электродов, обозначает положение этого электрода четырьмя точками. Затем сое­динить эти точки линией, изображавшей размеры и форму электро­да. Положение, форма и размеры второго электрода находятся аналогично.

6. Получить эквипотенциальных линий, соответствующих 2, 4, 6, 8, 10, 12 В.

Для этого, перемещая зонд между электродами по поверхности электролита, по показаниям вольтметра В7-27 найти и отметить 8-10 точек равного потенциала. Соединив эти точки плавной ли­нией, получим эквипотенциальную поверхность.

7. Пункты 5-7 выполнить для электродов другой формы (две пластины, пластина-шар).

8. Нанести силовые линии моделируемого электростатического поля между электродами.

9. Определить среднее значение напряженности поля по формуле (14) в 5-6 точках, расположенных на расстоянии 2 см друг от дру­га на линии, перпендикулярно прямой, проходящей через центры электродов, приблизительно в центре картины силового поля.

10. Включить потоки N₁, N₂, … N₅ напряженности поля через площади S₁, S₂, … S₅ 1x1 см², центры которых совпадает о точками, в которых определялись значения напряженности поля. Поток напряженности через каждую площадку вычислить по фор­муле

, где Е - напряженность поля в центре площадки S, - угол между нормалью к площадке и направлением вектора E.

11. Результаты измерений и вычислений занести в табл.1.

Таблица 1

Форма электродов	Номер точки
Пластина- пластина
Пластина - шар
Шар – шар

12. По данным табл.1 построить график зависимости значений потоков напряженности от расстояния до центра силовой картины по­ля N= f(x).

Вопросы

1. Что называется электростатическим полем?

2. Сформулируйте закон Кулона.

3. Сформулируйте принцип суперпозиции электростатического поля.

4. Что называется напряженностью электростатического поля? В каких единицах она измеряется?

5. Что такое потенциал? В каких единицах он измеряется?

6. Что называют силовыми линиями поля?

7. Что такое эквипотенциальная поверхность?

8. Какая существует связь между напряженностью поля в какой-либо точке и его потенциалом в той же точке?

9. В чем заключается метод электролитического моделирования электростатического поля?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.2 . §1-6, 8, 13-М.:Наука, 1982,-496 с.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковкая А.Б. Курс физики, т.2. §2.1 - 3.3.-М.: Высшая школа, 411с.

3.Тамм И.Е. Основы теории электричества. §1 - 3, 8,10, М.: Наука, 1976, -616 с.

Закон Кулона.

Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен экспериментально в 1785 году Кулоном. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд. Кулон измерял силу взаимодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и расстояния между ними и пришел к выводу, что сила взаимодействия двух не­подвижных точечных зарядов пропор­циональна величине каждого из заря­дов и обратно пропорциональна квад­рату расстояния между ними. Закон Кулона выражается формулой:

(2)

где k - коэффициент пропорциональности; q₁ и q₂ - величины взаимодействующих зарядов; r - расстояние между зарядами; r - радиус-вектор от одного заряда к другому. В случае одно­именных зарядов сила Fоказывается положительной, что соответ­ствует отталкиванию между зарядами. В случае разноименных заря­дов сила отрицательна, что соответствует притяжению зарядов друг к другу. Закон Кулона справедлив от расстояний 10^{-15 м и до нескольких километров.}

В международной системе единиц (СИ) коэффициент пропорциональ­ности k в законе Кулона равен и выражение за­кона Кулона для зарядов в вакууме приобретает вид:

.

Величину называют электрической постоянной, она имеет раз­мерность электрической емкости, деленной на длину, и равна:

Ф/М.

Подобная запись формулы называется рационализованной, a СИ при­надлежит к рационализованным системам единиц. Закон Кулона для силы взаимодействия зарядов в однородной диэлектрической среде в СИ имеет вид:

(3)

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Результирующая сила , о которой действует на данный за­ряд система N зарядов , определяется:

, (4)

Т.е. определяется векторной суммой сил действующих, на данный заряд q со стороны каждого из зарядов q_i

Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться некоторым пробным зарядом q. Согласно закону Кулона на пробный заряд действует сила

.

Отношение для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле:

(5)

Эту векторную величину называют напряженностью электрического поля в данной точке. Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора совпадает с направление силы, действующей на положительный заряд.

Напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда qи обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля

(6)

Направлен вектор вдоль прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ), действует сила, равная единице (1 Н в СИ)

.

Согласно приведенной формуле, сила, действующая на пробный заряд

Очевидно, что на всякий точечный заряд q в точке поля с напряженностью будет действовать сила

(7)

Если заряд положителен, направление силы совпадает с направлением вектора . В случае отрицательного q направление векторов и ? противоположны.

Было указано ранее, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый, не входящий в систему заряд равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (4). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(8)

Это принцип суперпозиции (наложения электрических полей). Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.

Линии напряженности. Поток вектора напряженности. Электрическое поле можно описать определив для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности , которые также будем называть силовыми линиями. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора (рис.1). Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к линиям, было равно численному значению вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора в разных точках пространства.

Линии точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, от заряда, если он положителен, и к заряду если он отрицателен (рис.2). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Полное число линий N, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r ,будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы . Густота линий по условию численно равна: .

Следовательно, N равно

Число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Отсюда вытекает, что силовые линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются. Линии начавшись на положительном заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде. Это свойство линий является общим для всех электрических полей.

Поскольку густота линий выбирается равной численному значению E , количество линий, пронизывающих площадку , перпендикулярную вектору , будет численно равно

Где – составляющая вектора по направлению нормали к площадке (рис.3). Отсюда для количества линий E, пронизывающих произвольную поверхность получется следующее выражение

, (10)

которое называется потоком вектора через поверхность S. N численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность S. Поток есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к площадке dS . Изменение направления нормали на противоположно изменяет знак у и, следовательно, у N .