Метод электролитической ванны

Рис. 2

В методе электролитической ванны изучение электростатического поля заменено изучением электрического поля, существующего в проводящей среде при протекании в ней постоянного тока. Такая замена оказывается правомочной, если потенциалы проводников, создающих поле, поддерживаются постоянными, а проводимость среды значительно меньше проводимости проводников. В этом случае поверхности проводников можно считать поверхностями равного потенциала. Доказательство этого утверждения приведено в Приложении 2.

Для проведения работы используется ванна со слабым водным раствором CuSO₄ (медный купорос), в который погружаются различного вида электроды (Э₁и Э₂). Эта пара электродов присоединяется к источнику постоянного тока (рис. 2). Эквипотенциальные поверхности находятся с помощью двух щупов. Один из них (неподвижный) укрепляется на одном из электродов и соединяется с вольтметром, который через другую клемму соединяется с подвижным щупом.

Таким образом, получается замкнутая цепь: раствор - подвижный щуп – вольтметр – неподвижный щуп.

Подвижный щуп служит для отыскания точек с одинаковым потенциалом. Если вольтметр показывает одно и то же напряжение при перемещении подвижного щупа из одной точки в другую, это означает, что эти точки находятся на эквипотенциальной поверхности.

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

УСТАНОВКА 1

Определение эквипотенциальной поверхности производится следующим образом. Укрепите неподвижный щуп НЩ на краю ванны (эквипотенциальная поверхность «a»), затем, держа в руке подвижный щуп, передвигайте его в ванне до тех пор, пока стрелка гальванометра не остановится на нуле. Отметьте эту точку на миллиметровке; пусть это будет точка 1. Затем, вновь передвигая подвижный щуп, найдите другую точку 2, где гальванометр дает нулевое показание; так найдите 5-6 точек. Соединив их плавной кривой, вы получите эквипотенциальную кривую (см. рис. 2). После этого переставьте неподвижный щуп НЩ в новое положение «б». Установив подвижный щуп в точку «а» измерьте разность потенциалов U₀ между точками «а» и «б».

Найдите, как описано выше 5-6 точек другой эквипотенциальной кривой.

Вновь передвиньте неподвижный щуп, выбрав такое его положение «в», чтобы потенциал точки «в», где вы теперь установили щуп, отличался от потенциала предыдущей точки «б» на U₀. Устанавливайте каждое новое положение неподвижного щупа таким же образом. Тогда вы получите систему эквипотенциальных поверхностей, потенциал которых изменяется с постоянным шагом.

Для каждой конфигурации электродов Э₁и Э₂данного вида необходимо вычертить 8-10 эквипотенциальных кривых. Вычерчивание эквипотенциальных кривых на чертеже для каждой конфигурации электродов ведется карандашами различного цвета на одном и том же листе миллиметровки. Необходимо помнить, что каждая точка получена с некоторой ошибкой. В каждом случае положение электродов в ванне должно быть схематически изображено на миллиметровке (между ними и располагаются эквипотенциальные кривые). Затем по известным эквипотенциальным кривым вычерчиваются силовые линии. Чтобы задать направление силовых линий, необходимо на чертеже отмечать положительные и отрицательные потенциалы проводников Э₁и Э₂.

УСТАНОВКА 2

Фотография установки для определения эквипотенциальных поверхностей электрического поля приведена на Рис. 3, измерительный модуль на Рис. 4. Элементы измерительного модуля на рис. 4 пронумерованы:

1. 4-мм разъём; 2. Измерительный щуп; 3. Пластмассовая ванна; 4. Прямые электроды; 5. Цилиндрические электроды; 6. Алюминиевое кольцо; 7. Изолирующий стержень; 8. Миллиметровка; 9. Основание штатива; 10. Стойка штатива.

Рис. 3

Рис. 4

Определение эквипотенциальной поверхности производится следующим образом. Подключите источник тока к электродам в ванне. Укрепите неподвижный щуп НЩ на одном из электродов, затем поместите подвижный щуп в какую-либо точку в нутрии ванны. Назовём эту точку точкой 1.

Отметьте показания вольтметра в точке 1. Слегка передвиньте подвижный щуп в другую точку ванны. Если показание вольтметра осталось прежним, значит, эта новая точка лежит на той же эквипотенциальной поверхности, что и первая точка. Если же показания вольтметра отличаются от первоначальных, значит, вы ушли с эквипотенциальной поверхности. Поэтому надо перемещая щуп отыскать точку, где показания вольтметра будут такими же, как и в исходной точке. Отметьте эту точку на миллиметровке; пусть это будет точка 2. Затем, вновь передвигая подвижный щуп, найдите другую точку 3, где вольтметр даёт прежнее показание; так найдите 8-10 точек, стремясь к тому, чтобы крайние из найденных вами точек располагались у противоположных краёв ванны. Соединив их плавной кривой, вы получите эквипотенциальную кривую (см. рис. 5). После этого переставьте подвижный щуп НЩ в новое положение «б» и отметьте новое показание вольтметра. Дальше, действуя, как описано выше, найдите новую эквипотенциальную поверхность.

Рис. 5

Для каждой конфигурации электродов Э1и Э2данного вида необходимо вычертить 8-10 эквипотенциальных кривых, так чтобы они давали полную картину электрического поля, созданного электродами, подобно той, что изображена на Рис. 5. Затем по известным эквипотенциальным кривым вычерчиваются силовые линии. Чтобы задать направление силовых линий, необходимо на чертеже указывать значения потенциалов на электродах.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется силовой линией? Как найти силовые линии в методе электролитической ванны?

2. Что называется эквипотенциальной поверхностью? Докажите, что силовые линии идут всегда перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

3. Как выглядят эквипотенциальные поверхности:

· точечного заряда,

· однородного поля?

4. Как по картине силовых линий определить области высокой и низкой напряженности поля?

5. Как по картине эквипотенциальных поверхностей определить области высокой и низкой напряженности поля?

6. Могут ли силовые линии пересекаться одна с другой?

7. Могут ли эквипотенциальные поверхности пересекаться между собой?

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Свойства силовых линий и эквипотенциальных поверхностей

Напомним определение силовой линии (линии напряженности). Силовая линия обладает тем свойством, что в каждой точке этой линии касательная к ней имеет направление, совпадающее с направлением вектора напряженности поля в той же точке. Из этого определения сразу же вытекает ряд следствий:

1. Через любую точку поля можно провести силовую линию, причем единственную. Это означает, в частности, что силовые линии не могут пересекаться друг с другом. Исключением из этого утверждения являются точки, в которых напряженность поля обращается в нуль (нулевому вектору можно приписать любое направление) или в бесконечность.

2. Силовые линии начинаются и заканчиваются либо на зарядах, либо в бесконечности.

3. Густота силовых линий пропорциональна величине напряженности поля в данной области.

Здесь надо иметь в виду, что именно так требуется изображать поле с помощью силовых линий. Поэтому доказывать тут вроде бы нечего. Однако, как мы сейчас убедимся, это требование вытекает из теоремы Гаусса, согласно которой поток вектора напряженности поля через любую замкнутую поверхность пропорционален заряду, находящемуся внутри области, ограниченной этой поверхностью.

Рис. 1

Действительно, пусть в какой-либо точке поля вектор напряженности равен E₁. Проведем через эту точку небольшую площадку площади S₁,расположив ее перпендикулярно вектору E₁. Проведем теперь через точки контура, ограничивающего площадку, силовые линии. Мы получим трубку силовых линий. Все те силовые линии, что оказались внутри трубки никогда за пределы трубки не выйдут (см. П. 1). Проведем еще один контур, охватывающий эту трубку, плоскость которого также перпендикулярна линиям, проходящим через точки этого контура. Пусть площадь, охватываемая этим контуром равна S₂, а напряженность поля в этой области равна E₂.

Мы получили замкнутую поверхность, внутри которой нет зарядов. Поток через поверхность трубки силовых линий, ограничивающих эту поверхность равен нулю. Напомним, что поток вектора Е через площадку площади dS равен (E,n)×dS=E×dS×cosa, где a - угол между Еи вектором нормали к площадке n (см. рис. 1). Если

Рис. 2

замкнутая поверхность не содержит внутри себя зарядов, то поток вектора напряженности через такую поверхность будет равен нулю.

Поток вектора Е через площадку S₁ отрицателен и равен –S₁E₁, а через вторую площадку поток равен S₂E₂ (напомним, что при вычислении потока через замкнутую поверхность необходимо выбирать внешнюю для этой поверхности нормаль; на рис. 2 это нормали n₁иn₂). Поскольку внутри поверхности нет зарядов, то поток вектора Ечерез нее равен нулю:

S₂E₂–S₁E₁=0.

Следовательно, Е₂/Е₁=S₁/S₂. Поскольку число силовых линий N внутри трубки остается неизменным, то число силовых линий, проходящих через площадки S₁ и S₂ одинаково:

N₁ =N₂.

Густота линий – это количество линий, проходящих через площадку единичной площади, т.е. N/S. Тогда:

(N₁/S₁):(N₂/S₂)=S₂/S₁=E₁/E₂.

Итак, густота силовых линий пропорциональна напряженности поля в данной области, если только в ней нет зарядов.

Следует, однако, иметь в виду следующее обстоятельство. Силовую линию вы можете провести через любую точку поля, поэтому, сколько линий вы проведете в том или ином месте, зависит исключительно от вас. Следовательно, утверждение о пропорциональности густоты линий и напряженности поля можно применять к линиям, принадлежащим одной и той же трубке силовых линий. Т.е. оценивать напряженность поля в разных точках по густоте силовых линий можно лишь тогда, когда эти точки попадают внутрь одной и той же трубки силовых линий. Для разных трубок этого делать уже нельзя.

4. Силовые линии не могут касаться друг друга в точке, где нет зарядов. Это следствие п.п. 1 и3. Действительно, пусть две линии касаются друг друга в какой-либо точке. Тогда в точке касания двух линий густота этих линий будет бесконечной, т.е. напряженность поля в этой точке также будет бесконечной. Это невозможно, если только в этой точке нет заряда.

Рассмотрим теперь свойства эквипотенциальных поверхностей. Напомним, что эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал.

Для исследования свойств эквипотенциальных поверхностей необходимо помнить, что работа, которую совершает электрическое поле над единичным положительным зарядом при переносе его из точки 1 в точку 2, равна j₁–j₂. Из этого определения сразу же следует:

5. Силовая линия направлена перпендикулярно эквипотенциальной поверхности в точке пересечения с нею.Действительно, пусть точки 1 и 2 находятся на одной и той же эквипотенциальной поверхности неподалеку друг от друга. Перенесем электрический заряд q вдоль эквипотенциальной поверхности из т.1 в т.2. Т.к. потенциалы в обеих точках одинаковы, то работа, совершаемая полем над зарядом равна нулю. Следовательно, сила, действующая на заряд F=qE,направлена перпендикулярно перемещению этого заряда. Т.к. заряд перемещался вдоль поверхности, то вектор E перпендикулярен поверхности.

6. Эквипотенциальные поверхности не могут пересекаться друг с другом в точке, где напряженность поля не равна нулю. Действительно, пересечение поверхностей означало бы, что в точках пересечения вектор напряженности поля имеет одновременно два различных направления, перпендикулярно как первой, так и второй поверхности. Это, очевидно, невозможно, если только в этих точках напряженность поля не равна нулю.

Поскольку потенциал и напряженность поля связаны соотношением:

где E_s – проекция вектора E на направление вектора s, а производная dj/ds означает производную от потенциала вдоль направления вектораs.

Последнее соотношение означает:

7. Густота эквипотенциальных поверхностей пропорциональна величине напряженности электрического поля в данной области. Действительно,

пусть имеем пару эквипотенциальных поверхностей, потенциалы которых равны, соответственно, j1 и j2. Пусть расстояние между поверхностями в какой-либо области равно s1, а в некоторой другой – s2. Тогда величину напряженности поля в первой области можно оценить как Dj/s1, а во второй как Dj/s2.

Рис. 3

Здесь мы символом Djобозначили разность потенциалов j₂–j₁ между этими поверхностями. Ясно, что чем меньше расстояние между поверхностями, тем выше напряженность поля в данной области.

Применение этого утверждения ограничено областью между парой заданных поверхностей. В какой-либо области вне данной пары оценить так напряженность поля уже нельзя. Дело опять-таки в том, что через любую точку поля вы можете провести эквипотенциальную поверхность. И хотя принято изображать эквипотенциальные поверхности с равным шагом по потенциалу, но, сколько вы их проведете внутри какой-либо области, зависит исключительно от вас. Все это очень похоже на аналогичное утверждение о связи густоты силовых линий и напряженности поля.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Граничные условия для вектора плотности тока

Докажем справедливость утверждения об эквипотенциальности поверхности раздела проводников с сильно различающимися проводимостями. Рассмотрим ток, текущий через границу раздела двух проводящих сред с проводимостями s₁ и s₂. Вектор плотности тока в первой среде обозначим через j₁, а во второй – через j₂. При протекании постоянного тока количество зарядов, проходящих внутрь любой замкнутой поверхности, должно равняться нулю (заряды нигде не накапливаются). В частности, это справедливо для поверхности беско­нечно малого цилиндра, верхнее и нижнее основание которого параллельны границе раздела сред, а сами эти основания находятся по разные стороны границы раз дела (см. рис.1). Заряд dq₂, входящий в цилиндр через нижнее основание за время dt равен:

dq₂=j₂×dS×cosa₂×dt (1),

а выходящий через верхнее основание за то же время:

dq₁=j₁×dS×cosa₁×dt. (2)

Смысл углов a1 и a2 ясен из рис. 1. Если теперь неограниченно уменьшать высоту цилиндра, оставляя его верхнее основание в среде 1, а нижнее – в среде 2, то заряд, протекающий через боковую поверхность этого цилиндра, будет стремиться к нулю, и условие постоянства тока через границу запишется как: dq₁=dq₂.

Рис. 4

Откуда, учитывая (1) и (2), получим: j1 ×cosa1 = j2×cosa2. (3) Поскольку в любой проводящей среде справедлив закон Ома: j=sE,(4) то уравнение (3) можно записать в виде: s1×E1×cosa1 = s2×E2×cosa2. (5) Кроме того, на границе раздела двух сред выполняется соотношение: E1t = E2t, (6)

где Е_t – проекция вектора E, параллельная границе раздела двух сред. Поскольку, согласно (4), направления j и E совпадают, то уравнение (6) можно записать в виде:

E₁×sina₁ = E₂×sina₂. (7)

Поделив (7) на (5), получим:

,

или

. (8)

Если s₁ áá s₂, то tga₁, а вместе с ним угол a₁, будут малы, каков бы ни был a₂,:

. (9)

Это означает, что в случае контакта двух проводников с сильно различающимися проводимостями, электрический ток всегда течет практически перпендикулярно поверхности проводника с малой проводимостью (см. рис. 1). Поскольку, согласно (4), направление вектора напряженности поля совпадает с направлением плотности тока, то и вектор E в плохом проводнике практически перпен­дикулярен к его гра­нице, а это означает, что границу плохого и хорошего провод­ников можно считать эквипотенциальной поверхностью.

Далее, в силу закона сохранения заряда:

divj=0. (10)

Учитывая закон Ома (4) для случая однородной среды, получим (s = const в однородной среде):

divj = s×divE.

С учетом (10) получаем:

divE=0. (11)

Как видим, поле постоянного тока удовлетворяет такому же условию (11), что и поле в ва­кууме. Кроме того, поверхности электродов, создающих ток, эквипо­тенциальны, а это означает, что поле в проводящей среде совпадает с полем в вакууме, если оно создается такой же системой электродов, имеющих такие же потенциалы, что и электроды, создающие ток в среде.