Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика (курс практических занятий) 2 семестр

Учебное пособие для специальности

09.03.03 «прикладная информатика в экономике»

(группы 446-1, 446-2)

Томск

ТУСУР

Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1 и 446-2 весной 2017 года.

ПРАКТИКА № 1 (14.02.2017 у обеих групп).

Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Задача 1. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение.Известно, что Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Для того, чтобы гарантированно правильно учесть коэффициент, лучше сразу домножить и поделить на 4, чтобы сформировать под знаком интеграла готовое выражение вида Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Итак, Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 2. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение. Известно, что Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . При дифференцровании функций вида Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 3. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение. Замечая, что Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru , преобразуем так:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 4.Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение. Известна формула Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Если в знаменателе линейная функция вида Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Теперь интеграл имеет вид Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru и конечно, равен Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Фактически применили замену Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Сделав обратную замену, получаем ответ: Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 5. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение.Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru =

= Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 6. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение.В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru

Получили частное Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru , остаток Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru что тоже приводит к Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 7.Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение.Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

С помощью замены Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru сводится к интегралу:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 8. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение.В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Задача 9. Вычислить Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Решение. В данном примере D>0, в отличие от предыдущих. Нужно сначала разбить дробь на сумму простейших:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru

и после этого, будет сумма двух таких интегралов, каждый из которых сводится к логарифму. Чтобы найти А и В, приведём к общему знаменателю:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Теперь приравняем числители, ведь дроби равны, знаменатели одинаковы, значит и числители тоже:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Отсюда получается система уравнений, из которой можно найти неопределённые коэффициенты А и В:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru

Решая эту систему, получаем Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru , Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru . Тогда интеграл распадается на простейшие:

Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru = Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Ответ. Элементарные преобразования подынтегрального выражения. - student2.ru .

Метод неопределённых коэффициентов подробнее будет изучаться в параграфе «интегрирование рациональных дробей», но его основная идея понятна уже из этой задачи.

Наши рекомендации