Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

МИНОРЫ

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется миноромматрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение.Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ элементарные преобразования матрицы - student2.ru , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0, i ¹ j,

eij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

элементарные преобразования матрицы - student2.ru ,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = элементарные преобразования матрицы - student2.ru , найти А-1.

элементарные преобразования матрицы - student2.ru

элементарные преобразования матрицы - student2.ru элементарные преобразования матрицы - student2.ru

Таким образом, А-1= элементарные преобразования матрицы - student2.ru .

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

элементарные преобразования матрицы - student2.ru

элементарные преобразования матрицы - student2.ru ,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = элементарные преобразования матрицы - student2.ru , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

Таким образом, А-1= элементарные преобразования матрицы - student2.ru .

СВОЙСТВА ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T.

Пример. Дана матрица А = элементарные преобразования матрицы - student2.ru , найти А3.

А2 = АА = элементарные преобразования матрицы - student2.ru элементарные преобразования матрицы - student2.ru = элементарные преобразования матрицы - student2.ru ; A3 = элементарные преобразования матрицы - student2.ru элементарные преобразования матрицы - student2.ru = элементарные преобразования матрицы - student2.ru .

Отметим, что матрицы элементарные преобразования матрицы - student2.ru и элементарные преобразования матрицы - student2.ru являются перестановочными.

Пример. Вычислить определитель элементарные преобразования матрицы - student2.ru .

элементарные преобразования матрицы - student2.ru = -1 элементарные преобразования матрицы - student2.ru

элементарные преобразования матрицы - student2.ru = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

элементарные преобразования матрицы - student2.ru = элементарные преобразования матрицы - student2.ru = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

элементарные преобразования матрицы - student2.ru = элементарные преобразования матрицы - student2.ru = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Наши рекомендации