Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число.

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число;

3) перестановка местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание нулевой строки (столбца);

5) замена строк матрицы соответствующими столбцами.

Определение 29: Матрицы, получающиеся одна из другой, при элементарных преобразованиях называется эквивалентными матрицами, обозначаются “ ~“

Основное свойство эквивалентных матриц:Ранги эквивалентных матриц равны.

Пример 18: Вычислить r(A),

Решение:Первую строку умножим поэтапно на (-4)(-2)

(-7) и затем прибавим соответственно к второй, третьей и четвертой строкам.

~

поменяем местами вторую и четвертую строки вторую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой строке; сложим вторую и третью строки.

сложим третью и четвертую строки.

~ откинем нулевую строку

~ r(A)=3 ранг исходной матрицы

равен трем.

Определение 30:Назовем матрицу А ступенчатой, если все элементы главной диагонали 0, а элементы под главной диагональю равны нулю.

Предложение:

1) ранг ступенчатой матрицы равен числу ее строк;

2) всякая матрица может быть приведена к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Пример 19: При каких значениях l матрица имеет ранг, равный единице?

Решение: Ранг равен единице, если определитель второго порядка равен нулю, т.е.