Элементарные преобразования строк матрицы

Определение 5.8. Элементарными преобразованиями строк матрицыназывают следующие преобразования:

1) умножение строки матрицы на ненулевое действительное число;

2) прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на произвольное действительное число.

Лемма 5.1.С помощью элементарных преобразований строк матрицы можно поменять местами любые две строки.

Доказательство.

А= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru . Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Ступенчатая матрица. Ранг матрицы

Определение 5.9. Ступенчатойбудем называть матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и R, соответственно, то k < R.

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (i + 1)-й строке. Например, матрицы

А1 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru , А2 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru , А3 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

являются ступенчатыми, а матрицы

В1 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru , В2 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru , В3 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

ступенчатыми не являются.

Теорема 5.1.Любую матрицу можно привести к ступенчатой с помощью элементарных преобразований строк.

Проиллюстрируем эту теорему на примере.

А= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Получившаяся матрица – ступенчатая.

Определение 5.10. Рангом матрицыбудем называть число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Например, ранг матрицы А в предыдущем примере равен 3.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется матрицей?

2. Как производится сложение и вычитание матриц; умножение матрицы на число?

3. Дайте определение умножению матриц.

4. Какая матрица называется транспонированной?

5. Какие преобразования строк матрицы называются элементарными?

6. Дайте определение ступенчатой матрицы.

7. Что называют рангом матрицы?

Определители

Вычисление определителей

Определители второго порядка

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

А = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Определение 6.1. Определителем второго порядка,соответствующим матрице A,называется число, вычисляемое по формуле

│А│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Элементы aij называются элементами определителя│A│, элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а12, а21 – побочную.

Пример. Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –28 + 6 = –22.

Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Определение 6.2. Определителем третьего порядка,соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

=─

Пример.

1) Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –4 + 0 + 4 – 0 + 2 + 6 = 8.

2) Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = 1, т. е. │Е3│= 1.

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение 6.3. Минором Mijэлементаaij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнениемAij элемента aij определителя называется его минор Mij, взятый со знаком (–1)i+j.

Пример.Вычислим минор М23 и алгебраическое дополнение А23 элемента а23 в матрице

А = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Вычислим минор М23:

М23 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –6 + 4 = –2.

Тогда А23 = (–1)2+3М23 = 2.

Теорема 6.1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство. По определению

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru . (6.1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраически дополнения А21, А22, А23:

А21 = (–1)2+1 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –( Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ) = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ,

А22 = (–1)2+2 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ,

А23 = (–1)2+3 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –( Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ) = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Преобразуем теперь формулу (6.1)

│А│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ( Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ) + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ( Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ) + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ( Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru ) =

= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А21 + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А22 + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А23.

Формула А│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А21 + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А22 + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А23. называется разложением определителя│А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца

Пример.

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = (по элементам второго столбца) = 1× (–1)1+2 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru + 2 × (–1)2+2 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru +

+ (–1)(–1)3+2 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = –(0 + 15) + 2(–2 +20) + (–6 +0) = –15 +36 – 6 = 15.

6.1.3 Определители n-го порядка (n Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru N)

Определение 6.4. Определителем n-го порядка,соответствующим матрице n-го порядка

А = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

│A│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Аi1 + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Ai2 + … + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Ain = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru А1j + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru A2j + … + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Anj .

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка. Если n = 1, то по определению будем считать |A| = |a Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru | = a Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Пример. Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = (по элементам 4-й строки) = 3×(–1)4+2 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru +

+ 2×(–1)4+4 Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = 3(–6 + 20 –2 –32) +2(– 6 +16 +60 +2) = 3(–20) +2×72 = –60 +144 = 84.

Заметим, что если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).

Пример.

│Еn│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = 1 × │En-1│ = … = │E3│= 1.

Свойство определителей

Определение 6.5. Матрицу вида

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru или Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 6.1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т. е.

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Свойство 6.2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 6.3.При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т. е.

│А│= │Аt│.

Свойство 6.4.Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого элемента некоторой строки на число k, то

│В│= k│А│.

Свойство 6.5.

Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru + Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Свойство 6.6.Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк, то│В│= −│А│.

Свойство 6.7.Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 6.8.Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. 6.1. Так, как по свойству 6.3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 6.9.Если А и В – квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.

Обратная матрица

Определение 6.6.Квадратная матрица А порядка n называется обратимой,если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Еn. В этом случае матрица В называется обратной к матрицеА и обозначается А–1.

Теорема 6.2.Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратимая матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В – обратимые матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)–1 = В–1 ×А–1.

Доказательство.

1. Пусть В и С – матрицы, обратные к матрице А, т. е. АВ = ВА = Еn и АС = СА = Еn. Тогда В = ВЕn = В(АС) = (ВА)С = ЕnС = С.

2. Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А–1, ей обратная, причём

АА–1 = Еn.

По свойству 6.9 определителя │АА–1│=│А││А–1│. Тогда │А││А–1│=│Еn│, откуда │А││А–1│= 1. Следовательно, │А│¹ 0.

3. Действительно,

(АВ)(В–1А–1) = (А(ВВ–1))А–1 = (АЕn–1 = АА–1 = Еn.

–1А–1)(АВ) = (В–1–1А))В = (В–1Еn)В = В–1В = Еn.

Следовательно, АВ – обратимая матрица, причём (АВ)–1 = В–1А–1.

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 6.3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│¹ 0, то

А–1 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Решение.│А│= Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = 6 + 1 = 7.

Так как │А│¹ 0, то существует обратная матрица

А–1 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Вычисляем А11 = 3, А12 = 1, А21 = –1, А22 = 2. Тогда А–1 = Элементарные преобразования строк матрицы - student2.ru .

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется определителем?

2. Каковы его основные свойства?

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

4. Каковы способы вычисления определителей (второго, третьего и n-го порядков)?

5. Какая матрица называется квадратной?

Наши рекомендации