Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы».

Если известны вероятности состояний «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы):

где то в качестве показателя эффективности (рациональности, обоснованности) стратегии берется средний (математическое ожидание) - выигрыш применения этой стратегии:

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, т.е.

Если каждому решению соответствует множество возможных результатов с вероятностями , то среднее значение выигрыша определяется по формуле

а оптимальная стратегия выбирается по условию

В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»

Максиминный критерий Вальдапредполагает выбор решения, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»):

Согласно критерию пессимизма-оптимизма Гурвицапри выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм) придерживаются некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы»:

где x - показатель пессимизма-оптимизма (чаще всего 0,5).

Если критерий слишком пессимистичный, если – слишком отптимистичный.

По критерию минимаксного риска Сэвиджавыбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в некоторой мере оценить возможные последствия принимаемых решений

Кооперативная теория

Другим классом неантагонистических игр являются кооперативные игры.

Каждая бескоалиционная игра описывает некоторый, вообще говоря, достаточно сложный конфликт, не всегда поддающийся не только детальному изучению, но и даже точному описанию. Поэтому иногда представляется естественным выбирать в этом конфликте отдельные его аспекты и подвергать их специальному анализу.

Самым простым будет при этом выделение некоторого множества игроков называемого коалицией (бескоалиционность рассматриваемых игр в том и состоит, что никакие коалиции первоначально в правилах игры не предусмотрены), и рассмотрение антагонистической игры )коалиции как единого игрока против ее «окружения» в целом. При этом комбинации стратегий игроков из (и из ) составляют стратегии (соответственно стратегии ), а сумма выигрышей игроков из - выигрыш коалиции . Значение этой игры естественно понимать как силу коалиции в общей игре .

Соответствие для каждой коалиции в условиях бескоалиционной игры называется ее характеристической функцией и обозначается через .

Характеристическая функция дает представление о возможностях коалиций и отдельных игроков в условиях игры даже без указания множества стратегий и функций выигрыша в ней. Поэтому говорят даже о задании игр «в форме характеристической функции», противопоставляя его заданию игр «в нормальной форме», и в других формах, которые существуют, но нами не затрагиваются. Изучение характеристических функций игр и составляет содержание кооперативной теории игр.

В рамках такой кооперативной теории исходами игры будут некоторые распределения суммарного выигрыша, называемые дележами. Характеристическую функцию, рассматриваемую совместно с некоторым множеством дележей, принято называть кооперативной игрой. Для кооперативных игр конструируются соответствующие принципы оптимальности, и рассматривается связанная с ними проблематика.

В некоторых из этих принципов оптимальности воплощаются представления об устойчивости, которые получаются перенесением на соотношения между дележами различных вариантов описания максимума функции. Однако применительно к дележам эти варианты определения перестают быть эквивалентными и порождают различные принципы оптимальности.

Вводимые принципы оптимальности имеют некоторые недостатки (если вообще можно говорить о недостатках достаточно естественно возникающих объектов): они не всегда реализуемы, а в тех случаях, когда реализуемы, могут допускать целые множества реализации, причем каждая реализация может состоять из многих дележей. К тому же реализации этих принципов могут не удовлетворять условиям справедливости в том смысле, как она определялась выше.

Все отмеченное заставляет искать новые принципы оптимальности. При этом плодотворным оказывается следующий путь: не переносить на случай дележей те или иные формулировки для максимумов на числовых множествах, выясняя, какими свойствами полученные принципы оптимальности будут обладать, а наоборот, фиксировать те свойства (в том числе - некоторые черты справедливости), которые желательно видеть у интересующих нас принципов оптимальности, и конструировать принцип, который этими свойствами заведомо будет обладать.