Виды дисперсий и правило их сложения

Если совокупность разбита на группы (части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности рассчитывают следующие виды дисперсий: общая, групповые (частные), средняя из групповых, межгрупповая.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общая дисперсияравна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru от общей средней Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . Она может быть исчислена как простая средняя или как

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru , (5.20)

или как взвешенная

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . (5.21)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.

Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Она может быть исчислена как простая или как взвешенная средняя:

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru ; (5.22)

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . (5.23)

Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя из групповых (частных) дисперсий – это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых:

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . (5.24)

Межгрупповая дисперсия равнасреднему квадрату отклонений групповых средних Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru от общей средней Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru :

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . (5.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru . (5.26)

Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий [1, 5–9].

Пример.Имеются данные о производительности рабочих за один час работы (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Табельный № Изготовлено продукции за 1час, x Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru
–2
–1
Итого  
–3

Продолжение табл. 5.1

Табельный № Изготовлено продукции за 1час, x Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru
–2
–1
Итого  

Исчислить: групповые дисперсии; среднюю из групповых дисперсий; межгрупповую и общую дисперсии.

Решение

1. Групповые дисперсии

Исчислим средние по группам, используя формулу (4.3):

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru

Исчислим групповые дисперсии по формуле (5.20):

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru

2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий по формуле (5.24):

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru

3. Определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru .

Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле (5.25):

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru

4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий по формуле (5.26):

Виды дисперсий и правило их сложения - student2.ru

Наши рекомендации