Виды дисперсий и правило их сложения.

Различают дисперсию общую, внутригрупповую и межгрупповую.

Общая дисперсия (s²) - величина, определяющая вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Зависимости для определения общей дисперсии приведены при изучении второго вопроса данной лекции.

Внутригрупповая ( частная ) дисперсия (s_i ) – дисперсия, вычисленная для каждой группы совокупности, определяющая рассеивание признака в каждой группе. Зависимость для ее расчета имеет вид:

а) невзвешенная

(20)

б) взвешеннаядля интервального вариационного ряда

, (21)

где - частные средние i – х групп;

S_i - означает, суммирование по каждой i –ой группе.

n_i - объемы i – х групп.

Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет вид

. , ( 22 )

Межгрупповая дисперсия (δ_х² )– величина определяющая колеблемость частных ( групповых) средних ( ) вокруг общей средней ( ). Зависимость для ее расчета имеет вид

, ( 23 )

где x_i , n_i - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам .

Существует закон, связывающий три вида дисперсий

(24)

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий.

Основываясь на этом правиле, зная любые два вида дисперсий , можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей. Он называется эмпирический коэффициент детерминации (h²):

. ( 25 )

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением

.(26 )

Это отношение показывает влияние признака, положенного в основу группировки, на вариацию результативного признака.

h изменяется в пределах от 0до 1. При 0 - группировочный признак не оказывает влияния на результативный . При 1 - результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основу группировки, а влияние всех прочих признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от близости их к предельным значения.

Рассмотрим пример расчета дисперсий по исходным данным приведенным в таблице 14.

Таблица 14- Производительность труда двух групп рабочих

Производительность труда рабочих ( деталей за смену)
Прошедших техническое обучение	Не прошедших техническое обучение
Численность рабочих -5	Численность рабочих - 5

Алгоритм расчета.

1. Рассчитываем общую и средние арифметические

= 475/5 = 95 дет.

= 405/ 5 = 81 дет.

= (475 + 405)/10 = 88 дет.

2. Рассчитываем общую и среднегрупповые дисперсии по зависимости

s²₁ = (( 84 – 95)² + ( 93- 95)² +…+ ( 102 – 95 )²)/5 =42,0.

s²₂ = (( 62 – 81)² + ( 68- 81)² +…+ ( 105 – 81 )²)/5 =231,2.

s² = (( 84 – 88)² + ( 93- 88)² +…+ ( 105 – 88 )²)/10 =185,6.

3. Рассчитываем среднюю из внутригрупповых ( частных ) дисперсий

s²_i = (42,0 + 231,2)\10 = 136,6.

4. Рассчитываем межгрупповую дисперсию

d² = ( (95 – 88)² * 5 + ( 81 – 88)² *5))/10 = 49,0

5. Определяем общую дисперсию

s² = 136, 6 + 49,0 = 185,6.

6. Рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение

h= ( 49,0 / 185,6))^0,5 = 0,264.

Вывод. Фактором технического обучения персонала объясняется 26,4 % вариации производительности труда. Остальные – 73,6 % вариации объясняются неучтенными факторами.