Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в

Анализе факторов

Вычисляя общую дисперсию изучаемого признака в пределах совокупности, мы не можем оценить влияние отдельных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать лишь при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. В статистике, используя метод группировок, определяют три показателя вариации признака в совокупности в виде трех различных дисперсий:

– общей (генеральной) дисперсии;

– межгрупповой (факторной) дисперсии;

– средней внутригрупповых дисперсий (остаточной дисперсии).

Общая дисперсияхарактеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий (факторов) в данной совокупности, и исчисляется по формуле

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru

где Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru – средняя величина изучаемого признака для всей совокупности.

Межгрупповая (факторная) дисперсияотражает вариацию изучаемого признака Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru которая возникает под влиянием признака-фактора Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru , положенного в основание группировки. Она характеризует вариацию групповых средних Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru около общей средней Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru и вычисляется по формуле

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru

где Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru – численность отдельных групп; Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru – средние групповые значения признака.

Средняя внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия)характеризует случайную, не обусловленную признаком-фактором, вариацию. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов, и не зависит от признака-фактора Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru , положенного в основание группировки. Она определяется по формуле

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru ,

где Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru – дисперсия изучаемого признака Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru в каждой отдельной группе.

В математической статистике доказывается правило сложения дисперсий,которое говорит, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий. Оно записывается в виде формулы

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru

Это правило (закон) сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость вариации от определяющих её факторов при помощи соотношения межгрупповой и общей дисперсии

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru

Последнее соотношение называется коэффициентом детерминациии определяет процент различий (отклонений) в совокупности, обусловленный признаком-фактором, выбранным для группировки в качестве основного.

Пример.При исследовании производительности труда (признак Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru ) совокупности рабочих на предприятии была проведена группировка рабочих по размеру заработной платы (признак Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru ). В результате статистической обработки данных и расчётов коэффициент детерминации (по признаку Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru ) оказался равным Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru Это означает, что различия в производительности труда отдельных рабочих лишь на 43% обусловлено фактором заработной платы и, следовательно, на 57 % – прочими факторами (условиями).

В статистике наряду с дисперсией количественного признака определяется дисперсия альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Формула расчёта дисперсии альтернативного признака имеет вид

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru

где Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в - student2.ru доля вариант, обладающих определенным значением признака.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой вариация признака?

2. Какие показатели относят к абсолютным показателям вариации?

3. Что собой представляют относительные показатели вариации?

4. Назовите варианты расчета среднего линейного отклонения, дисперсии и среднеквадратического отклонения.

5. Как рассчитывается дисперсия и среднеквадратическое отклонение с использованием второго и первого начальных моментов?

6. Приведите формулы расчета коэффициентов осцилляции, среднего линейного отклонения и вариации.

6. Как рассчитывается дисперсия доли (альтернативного признака)?

7. Сформулируйте общее правило сложения дисперсий и объясните, что характеризует межгрупповая и средняя внутригрупповых дисперсий.

8. Как рассчитывается коэффициент детерминации? Поясните смысл этого коэффициента.

Задачи

1. Имеются данные об объемах закупок скота и птицы (в живом весе, тыс. т):

Номер хозяйства
Объемы закупок

Определите показатели вариации объемов закупок скота и птицы.

2. На основе данных о распределении посевной площади озимой пшеницы по урожайности произвести расчет дисперсий, используя правило их сложения:

Расчетные данные по всей совокупности участков:

Номер участка Урожайность, ц/га (x) Посевная площадь, га (f) xf x2 x2 f
32 000
24 200
12 500
39 200
90 000
98 000
72 200
112 000
Итого - 15 100 - 480 100

3. На основе данных о распределении деталей по затратам времени на их изготовление вычислить абсолютные и относительные показатели вариации

Наши рекомендации