Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий

Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице 2.2 представлен анализ такой совокупности.

Таблица 2.2 - Определение исходной совокупности по группам

Значение признака х Число единиц в j-й группе Итого
j l
х1 f11 f1j f1l Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru
хi fi1 fij fil Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru
хk fk1 fkj fkl Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru
Итого Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru

Здесь j – номер группы ( Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru );

хi – i-е значение признака ( Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru );

fij – частота i-го значения признака, число единиц в j-й группе;

mi – сумма частот i-го значения признака в каждой группе;

nj – сумма частот всех значений признака в j-й группе;

N – сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).

Сначала вычисляем l частных средних ( Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ), т.е. среднее значение признака в каждой группе:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.22)

На основе частных средних определяем общую среднюю ( Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ) по формулам

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru или Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.23)

Общая дисперсиясовокупности

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.24)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru :

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru или Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.26)

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.27)

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.28)

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое – средняя из внутригрупповых дисперсий – измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе – межгрупповая дисперсия – вариацию между средними этих частей.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (η2) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.29)

Эмпирическое корреляционное отношение (η) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru . (2.30)

η2 и η Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru [0, 1]. (2.31)

Если связь отсутствует, то h = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (δ2=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.

Если связь функциональная, то h = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии ( Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.

Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками (таблица 2.3).

Таблица 2.3 - Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)

Значение Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Характер связи   Значение Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Характер связи
η = 0 Отсутствует 0,5 ≤ η < 0,7 Заметная
0 < η < 0,2 Очень слабая   0,7 ≤ η < 0,9 Сильная
0,2 ≤ η < 0,3 Слабая   0,9 ≤ η < 1 Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5 Умеренная η = 1 Функциональная

Пример 2.1.

Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным о производи­тельности труда в двух бригадах:

Изготовлено деталей за час, шт. (производительность труда) Количество рабочих, имеющих соответствующую производительность труда
в бригаде 1 в бригаде 2
хi fi1 fi2

Промежуточные расчеты занесем в таблицы:

хi Бр. 1 Бр. 2 mi Промежуточные расчеты для определения средних величин
fi1 fi2 хi·fi1 хi·fi2 хi·mi
Σ n1=10 n2=10 N=20 Σхi·fi1=138 Σхi·fi2=178 Σхi· mi =316
хi Промежуточные расчеты для определения дисперсий
iВиды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ) iВиды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ) iВиды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru ) i Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru )2·fi1 i Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru )2·fi2 iВиды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru )2·mi
-3,8 -7,8 -5,8 14,44 0,00 33,64
-1,8 -5,8 -3,8 9,72 0,00 43,32
0,2 -3,8 -1,8 0,12 14,44 12,96
2,2 -1,8 0,2 9,68 9,72 0,20
4,2 0,2 2,2 17,64 0,08 14,52
6,2 2,2 4,2 0,00 19,36 70,56
Σ 51,60 43,60 175,20

Средняя производительность труда для 1-й бригады:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 13,8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 2-й бригады:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 17,8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 1-й и 2-й бригады:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 15,8 шт./ч.

Дисперсия 1-й группы (бригады) Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 5,16 Дисперсия 2-й группы (бригады) Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 4,36
Средняя из групповых дисперсий Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 4,76 Межгрупповая дисперсия Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 4,0
Общая дисперсия Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru =8,76
Проверка по правилу сложения дисперсий: Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 4,76 + 4,00 = 8,76
     

Эмпирический коэффициент детерминации:

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 0,457 = 45,7%.

Отсюда можно сделать вывод, что общая вариация производительности труда на 45,7% обусловлена вариацией между группами.

Эмпирическое корреляционное отношение

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий - student2.ru = 0,6757.

Значение h = 0,6757 показывает заметную связь по шкале Чэддока (см. таблицу 2.3) между исследуемым явлением (производительностью труда) и группировочным признаком (бригады).

Наши рекомендации