Прийняття рішень в умовах існування оптових знижок.

У реальному житті часто застосовуються знижки на обсяг замов-

лення (оптові знижки): чим більше розмір замовлення, тим мен-

шу ціну доводиться сплачувати за кожну одиницю. У такому ви-

падку для того, щоб визначити оптимальний розмір замовлення,

необхідно включити такі знижки в базову модель. Загальна вели-

чина витрат на матеріали містить у собі вартість самих матеріа-

лів, вартість зберігання запасів і вартість розміщення замовлень:

TC = C

D + C

0 q

q + CD,

h 2

(9.6)

де С — вихідна ціна одиниці матеріалу.

Якщо ціна одиниці матеріалу не залежить від розміру замов-

лення (тобто знижок немає), включення у формулу вартості са-

мих матеріалів не вплине на оптимальний розмір замовлення, а крива сумарних витрат зміститься вверх на постійну величину.

Якщо ж постачальник надає оптові знижки, ціна одиниці ма-

теріалу буде залежати від розміру замовлення, а у функції сумар-

них витрат з’являться точки розриву.

Паралельні криві витрат (по одній на кожен рівень цін) подані

на рис. 9.9. У точках, що відповідають мінімальному розміру за-

мовлення, для якого надається знижка, величина витрат «пере-

скакує» з однієї кривої на іншу. З графіка видно, що оптимальне

значення розміру може знаходитися або в мінімальній точці одні-

єї з кривих, або в одній із точок розриву, тому в умовах надання

оптових знижок послідовність аналізу така:

1. Визначити оптимальний розмір замовлення для кожного рі-

вня цін q0і, де і — індекс відповідної кривої.

2. Перевірити, чи попадають знайдені значення q0і в зону від-

повідного розміру знижки, тобто в зоні, де витрати описуються

кривою з індексом i.

3. Якщо деякий розмір замовлення q0і попадає в зону відпові-

дного розміру знижки (див. рис. 9.13, зона I), то він є найкращим

для даного рівня цін, якщо ж не попадає, то найкращим для дано-

го рівня цін буде розмір замовлення, що відповідає точці розри-

ву — qtі. Отже, якщо позначити оптимальне значення розміру за-

мовлення в зоні I як qt, то

qi = q0i , при _ q ∈ I ;

qi = q Ii , при _ q ∉I .

4. Розрахувати сумарні витрати на матеріали для кожного qt. Оптимальним буде такий розмір замовлення q, при якому сумар- ні витрати мінімальні.

Модель управління запасами при допустимому дефіциті. Якщо витрати на зберігання запасів вищі, ніж втрати, які викли- кані тимчасовою відсутністю запасів, то відсутність запасів на

складі протягом деякого невеликого проміжку часу може бути цілком допустимою. Тоді основну модель управління запасами необхідно перетворити з урахуванням допустимого рівня дефіци- ту. Тут можливі два варіанти розвитку подій:

1) попит, що виник у період відсутності запасів, відкладається аж до моменту, коли запаси на складі з’являться;

2) у період відсутності запасів на складі попит на них залиша-

ється незадоволеним.

У першому випадку максимальний розмір запасу на складі

менший від розміру замовлення на величину попиту, що виник

при відсутності запасів, а в другому випадку максимальний запас дорівнює розміру замовлення.

Розглянемо першу ситуацію.

Ціна 1

Ціна 2

Ціна 3

Розмір замовлення (q)

Рис. 9.13. Функція загальної вартості запасів при різних умовах надання оптових знижок:

I — знижка не надається; II — знижка 1; III — знижка 2

Критерієм ухвалення рішення щодо розміру замовлення, мак- симального рівня дефіциту в подібній ситуації також є мініміза- ція сумарних витрат підприємства. Рівняння сумарних витрат на запаси в ситуації можливого дефіциту доведеться модифікувати, включивши у нього вартість відсутності запасів.

Якщо позначити вартість відсутності одиниці запасу Сb, то формула набуде такого вигляду:

ТС = С0 D/q + Chqcp+ Сb scp, (9.7)

де qср — середній розмір запасу;

Scp — середній розмір дефіциту,

За період, поки запас на складі є (t1), середній рівень запасу складає

(q – s) / 2. (9.8)

Таким чином, за весь цикл середній розмір запасу складе

qcp = (q – s) t1 / (2T). (9.9)

Тоді величину витрачання запасів за період t1 (тобто D) можна обчислити за формулою:

D = (q – s) / t1, (9.10)

D = q / T. (9.11)

Тому t1 = (q – s) / D; Т = q / D. (9.12)

Шляхом підстановки значень t1 і Т у формулу середнього рів-

ня запасів одержуємо наступне:

(q − s) ⋅ (q − s) / D

2q / D

(q − s)2

=

2q

. (9.13)

Аналогічно можна знайти середній рівень дефіциту. Протягом часу t2 середній розмір дефіциту складе s/2, отже, середній дефі- цит за весь цикл Т складе:

s ⋅ t2 /(2T ) ; (9.14) D = s / t2 ; (9.15) t2 = s / D ; (9.16)

s = s ⋅s / D

s . (9.17)

cp =

2 ⋅q / D 2q

Одержавши вирази для середнього дефіциту і середнього рів-

ня запасів, ми можемо написати рівняння сумарних витрат:

TC = C D / q + C

(q − s)2 s

+ C .

(9.18)

0 h 2q

b 2q

Можна помітити, що сумарні витрати є функцією двох неза- лежних змінних: дефіциту s і розміру замовлення q. Тому для ви- значення оптимального розміру замовлення q і оптимальної ве- личини дефіциту s необхідно взяти дві часткові похідні: по q і по s і знайти такі q і s, при яких відповідні часткові похідні дорів- нюють нулю.

Оптимальний розмір замовлення в цьому випадку дорівнює:

q2 = 2C0 D ⋅Ch + Cb .

Ch Cb

(9.19)

Таким чином, оптимальний розмір замовлення в умовах припус- тимого дефіциту пропорційний оптимальному розміру замовлення при відсутності дефіциту, а коефіцієнт пропорційності залежить від витрат на зберігання і втрат, викликаних дефіцитом запасів:

q2 = (q*)2 Ch + Cb ,

C b

(9.20)

де q* — оптимальний розмір замовлення у випадку неприпусти-

мості дефіциту.

Оптимальний розмір дефіциту дорівнюватиме:

s =qCh .

Ch + Cb

(9.21)

Звідси випливає, що оптимальний розмір дефіциту залежить від розміру замовлення. Тому формулу можна перетворити, під- ставивши в неї значення q. Вийде такий вираз:

s 2 = 2C0 D ⋅

Cb

Ch .

Cb + Ch

(9.22)

А тепер повернемося до аналізу ситуації, при якій попит, що висувається до запасів у період дефіциту, не задовольняється вза- галі. Відмінність її від попередньої ситуації в тому, що максима- льний рівень запасу дорівнює розміру замовлення q. У рівнянні сумарних витрат, отриманому нами для попередньої ситуації, за- мінимо q на (q + s):

TC = C0

D

q + s

+ Ch

q 2

2(q + s)

+ Cb

s 2

.

2(q + s)

(9.23)

Оптимальні значення q і s, як і в попередньому випадку, мож- на знайти, прирівнявши до нуля часткові похідні. Одержимо та- кий оптимальний розмір замовлення:

q2 = 2C0D ⋅Ch + Cb = q2* Ch + Cb

(9.24)

q Cb Cb

Оптимальний максимальний дефіцит складає:

s 2 = 2C0 D ⋅

Cb

Ch .

Cb + Ch

(9.25)

Резервний запас.Подана раніше модель управління запасами заснована на ряді припущень, що спрощують, зокрема, про те, що час постачання заздалегідь точно відомо і витрата запасів в оди- ницю часу завжди однаковий Однак на практиці ці припущення майже ніколи не виконуються: нерідкі зриви постачань, витрата запасів коливається залежно від випадкових факторів. Тому ви- никає необхідність у формуванні резервного запасу на випадок подібних «очікуваних несподіванок». Таким чином, в умовах не- визначеності рівень повторного замовлення перевищує рівень повторного замовлення в умовах визначеності на величину, рівну резервному запасу.

Резервний запас не тільки допомагає підприємству застраху- ватися від недостачі ресурсів, але і збільшує витрати збереження. Критерієм прийняття рішень у такій ситуації знову буде мінімі- зація сумарних витрат.

У даному випадку релевантними (значимими) будуть дні гру-

пи витрат:

• витрати, викликані недостачею запасів:

• витрати збереження резервного запасу.

Витрати на зберігання резервного запасу складають Сh R, де R — розмір резервного запасу. Сh — витрати на зберігання оди- ниці запасів.

Втрати, які викликані недостачею запасів, визначаються спе- цифікою конкретного підприємства, зокрема, вони складаються з таких складників:

• втраченого маржинального прибутку від реалізації продук-

ції, яку не вдалося виготовити і продати внаслідок відсутності

відповідних матеріалів;

• додаткових витрат на вимушене термінове придбання чи са-

мостійне виготовлення матеріалів;

• маржинального прибутку, який буде втрачено через зменшен-

ня частки ринку (відсутність необхідної продукції на складі приведе

до того, що покупці віддадуть перевагу продукції конкурента);

• витрат на зупинку і повторний запуск виробничого процесу

й ін.

Для визначення очікуваних втрат необхідно знати ймовірний

розподіл втрат, що залежить від ймовірного розподілу двох випа-

дкових величин: питомої витрати матеріалу за одиницю часу і

часу постачання.

Щоб знайти величину резервного запасу, необхідно визначити

ймовірність відсутності запасів на складі, яку можна вважати

прийнятною, тобто вибрати рівень обслуговування. Наприклад,

якщо допустима ймовірність відсутності запасів складає 6 %, то

рівень обслуговування складає 94 %. Рівень обслуговування ви-

значається виходячи зі значимості втрат фірми у разі відсутності

запасів: чим вагоміші втрати, тим більшим повинен бути рівень

обслуговування. Резервний запас визначають таким чином, щоб

ймовірність наявності запасів на складі була більшою від вибра-

ного рівня обслуговування.

Вищеописані критерії прийняття рішень вимагають викорис-

тання могутнього математичного апарата, зокрема застосування

методів лінійного програмування, яке за останні роки отримало

значне поширення.