Проверка статистических гипотез
На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположений (гипотез) относительно природы и величины неизвестных параметров анализируемой генеральной совокупности (совокупностей). Например, исследователь высказывает предположение: "выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности" или "генеральная средняя анализируемой совокупности равна пяти". Такие предположения называются статистическими гипотезами.
Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется проверкой статистических гипотез.
Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0.
По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1.
Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н0.
Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой, например: "среднедушевой совокупный доход населения России составляет 650 рублей в месяц"; "уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равна 9%" . В других случаях гипотеза называется сложной.
В качестве нулевой гипотезы Н0 принято выдвигать простую гипотезу, т.к. обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.
По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов[6]:
- гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;
- гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности[7];
- гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;
- гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками и др.
Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н0 имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.
Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н0 может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой первого рода. А ее вероятность принято называтьуровнем значимости и обозначать α.
Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н0 принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н1. Такую ошибку называют ошибкой второго рода. Вероятность ошибки второго рода принято обозначать β. Вероятность 1 - β называют мощностью критерия.
При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок α или β. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки первого рода α - уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости α: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α отклонить правильную в действительности гипотезу Н0, следует принять тот, который сопровождается меньшей ошибкой второго рода β, т.е. большей мощностью. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.
Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н0 также может быть двух видов:
- будет принята нулевая гипотеза Н0, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н0 ; вероятность такого решения 1 - α;
- нулевая гипотеза Н0 будет отклонена в пользу альтернативной Н1, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной Н1; вероятность такого решения 1 - β - мощность критерия.
Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью таблицы 8.1.
Таблица 8.1
| Нулевая гипотеза Н0 | Результаты решения относительно нулевой гипотезы Н0 | |
| отклонена | принята | |
| верна | ошибка первого рода, ее вероятность Р(Н1/Н0) = α | правильное решение, его вероятность Р(Н0/Н0) = 1 - α |
| не верна | правильное решение, его вероятность Р(Н1/Н1) = 1 - β | ошибка второго рода, ее вероятность Р(Н0/Н1) = β |
Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющего функцией от результатов наблюдения.