Неврівноважені і врівноважені моделі

Очевидно, що прибутковість цінних паперів, що є на ринку, можна розглядати залежно від часу. При цьому будуть залежати від часу числові характеристики випадкової величини r_p. Так само, взагалі кажучи, залежатимуть від часу і значення параметрів α і β.

Модель фінансового ринку називається врівноваженою, якщо числові характеристики випадкових величин, що входять в неї, постійні в часі. Економічний сенс подібного припущення очевидний: ринок вважається "сталим", збалансованим. В цьому випадку можна отримати деякі конкретні результати, що істотно спрощують ситуацію.

Розглядатимемо модель залежності прибутковості цінного паперу від прибутковості дотичного портфеля (передбачається, що безризикова ставка отримання і надання позик для усіх учасників ринку одна і та ж і дорівнює r_f). Якщо модель врівноважена, тобто ринок збалансований, то дотичний портфель задовольняє наступній властивості: доля кожного цінного паперу в ньому відповідає її відносній ринковій вартості. Такий портфель називається ринковим і визначається однозначно. Таким чином, розглядаючи врівноважені моделі, ми ототожнюватимемо поняття дотичного і ринкового портфеля, прибутковість якого позначимо r_M.

Отже, регресійна модель для і - го цінного паперу має вигляд:

r_i = α_i + β_iM(r_M – r_f) + ε_i.

Виявляється, у врівноваженому випадку має місце наступна теорема.

Теорема. Для усіх цінних паперів, що обертаються на ринку, коефіцієнт α_і, один і той самий і дорівнює безризиковій ставці.

Маємо . Розглянемо портфель р, що складається з і-го цінного паперу і ринкового портфеля М в пропорції x_i та 1 - x_i відповідно. Очікувана прибутковість такого портфеля складе

(2)

а стандартне відхилення буде

.(3)

Усі такі портфелі відображаються на криву, що сполучає точки i та М (рис. 3). З рівності (2) отримуємо: . А з рівності (3):

,

звідки Рис. 3

.

У точці М x_i = 0, звідси нахил кривої в точці М: . (4)

Але крива торкається прямої l, тому .(5)

Прирівнявши праві частини рівностей (4) та (5), отримаємо

.

Таким чином, єдиним параметром, що характеризує цей цінний папір, є його чутливість "бета" до ринкового портфеля.

Модель оцінки фінансових активів (САРМ)

Рівнянняназивається ринковою лінією цінного паперу. Воно визначає залежність очікуваної прибутковості цінного паперу від її чутливості "бета" .

Розглянемо портфель {x₁,...,x_n}, . Прибутковість портфеля

. Звідси маємо, що очікувана прибутковість

.

Тут . Рівняння

називається рівнянням моделі оцінки фінансових активів. Для її використання необхідно отримати оцінки параметрів дотичного портфеля - очікуваної прибутковості та ризику, а також коваріацій доходностей цінних паперів, що входять в р, з прибутковістю ринкового портфеля.

Практичне значення моделі оцінки фінансових активів полягає в тому, що вона може використовуватись для виявлення невірно оцінених паперів в неврівноваженій ситуації. Так, якщо прибутковість цінного паперу вища за ту, яка задається рівнянням , то папір є переоціненим, в протилежному випадку - недооціненим.