Визначення і властивості виробничих функцій

ЛЕКЦІЯ № 1.5. ВИРОБНИЧІ ФУНКЦІЇ

Виробничі функції є співвідношеннями між випуском продукції і агрегованими показниками витрат ресурсів. Виробничі функції відносяться до найбільш широко використовуваних економіко-математичних моделей. Вперше такі функції були побудовані американськими вченими П.Коббом і Ч.Дугласом в 30-ті роки ХХ сторіччя за даними про функціонування оброблювальної промисловості США.

Виробничі функції дозволяють:

Проводити різні аналітичні розрахунки.

Визначати ефективність використання ресурсів і доцільність їх додаткового залучення у виробництво.

Прогнозувати випуск продукції за тих або інших умов, тобто у варіантах наявності ресурсів.

Визначення. Під виробничою функцією (ВФ) розуміється стійке кількісне співвідношення між випуском продукції і витратами ресурсів на цей випуск, тобто Y=F(X)=F(x₁ ., x_n), де X – вектор виробничих ресурсів, Y – випуск (скаляр).

В більшості економічних систем випуск, як правило, є вектором. Але у виробничих функціях всі компоненти цього вектора об'єднуються або за вартістю, або в натуральному вираженні. Ресурси звичайно також виступають в агрегованому вигляді. Це підвищує стійкість зв'язку. У визначенні приведена статична ВФ. Якщо вимагається досліджувати зміну випуску продукції в часі, то використовується динамічна ВФ: Y=F(X, t).

Властивості ВФ обумовлені економічними міркуваннями:

ВФ визначена тільки на невід’ємних значеннях ресурсів, що використовуються: x_j 0, j=1,...,n і випуск теж невід’ємний.

За відсутності хоча б одного ресурсу виробництво неможливе, тобто Y=F(X)>0 x_j>0, j=1,…,n. Якщо під час побудови виявиться, що за відсутності деякого ресурсу випуск не рівний нулю, це значить, що даний ресурс не може бути самостійним аргументом ВФ, тобто його або взагалі не слід включати у ВФ, або слід розглядати, як складову частину іншого ресурсу.

Збільшення витрат будь-якого ресурсу не приводить до зменшення випуску продукції (в сильній формі), тобто

Закон спадної граничної ефективності. Як випливає з властивості 3, при додаткових витратах ресурсу j і незмінних витратах решти ресурсів випуск не зменшиться, як правило, він збільшиться, але швидкість цього росту із зростанням витрат j-го ресурсу спадає.

Цей закон виконується тільки за відсутності якісних змін у виробництві, тобто за відсутності науково-технічного прогресу. Іноді властивість 4 замінюють більш сильною умовою, так званою опуклістю вгору ВФ, тобто або непозитивної визначеності матриці других похідних F(x) (матриці – гесіана).

Іноді додатково до властивості 4 формулюють наступну умову: віддача витрат одного ресурсу збільшується із зростанням іншого ресурсу, тобто

ВФ – функція однорідна, тобто F( x)= Це означає, що при збільшенні використання всіх ресурсів в раз, випуск збільшується в раз ( - ступінь однорідності ВФ). У багатьох випадках достатню точність забезпечує =1, і такі ВФ називаються лінійно-однорідними або однорідними першого ступеня.

Властивість однорідності ВФ пов’язана з віддачею від масштабів виробництва. Для >1 і ступені однорідності більшим за одиницю, обсяг випуску зростає в раз. Якщо <1, маємо відповідно спадання виробництва. При =1 і випуск, і ресурси зростають з однаковими темпами.

Якщо Y – функція однієї змінної, виробнича функція називається одноресурсною або однофакторною. Якщо вона залежить від декількох змінних , то функція буде багатофакторною або багаторесурсною. В макроекономічних дослідженнях найчастіше мають справу з двофакторними виробничими функціями Y=F(K,L), де К – капітал, виробничі фонди, L – трудові ресурси, зайнятість. Така виробнича функція отримала назву макроекономічної ВФ.