Загальні властивості функцій
ЛЕКЦІЯ 12. ФУНКЦІЯ
ПЛАН
1. Поняття функціональної залежності
2. Загальні властивості функцій
3. Елементарні функції
Поняття функціональної залежності
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі вона набуває різних (тільки одного) значень.
Розглянемо дві змінні величини х Î D Í R i y Î E Í R.
Означення. Функцією y = f(x) називається така відповідність між множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.
При цьому вважають, що:
х — незалежна змінна, або аргумент;
у — залежна змінна, або функція;
f — символ закону відповідності;
D —область визначення функції;
Е — множина значень функції.
Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.
Означення. Функція у = F(u), де u = j(x), називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та j(х), і позначається y = F(j (x)).
Приклад. 
– cкладна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, u = v2, v = sin x.
Приклад. 
, де 
, 
. Оскільки 
, то 
.
Означення. Нехай функція у = f(x) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f(x); її позначають у = f –1(x).
За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:
Приклад. 
— взаємно обернені функції:
.
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x (рис. 1).
Рис. 1
Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається неявною, якщо її задано рівнянням F(x, y) = 0, яке не розв’язане відносно змінної у.
Приклад. Рівняння 
визначає неявну функцію у від х.
Означення. Система рівнянь
визначає параметричну залежність функції у від змінної х (t—параметр).
Вираз 
самої залежності у від х можна дістати виключенням параметра t з останньої системи рівнянь.
Приклад. Параметрична залежність
визначає коло радіуса r з центром у початку прямокутної декартової системи координат. Справді, зводячи до квадрата параметричні рівняння і підсумовуючи результат, дістаємо: 
, або .
Загальні властивості функцій
Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.
Приклад. Знайти область визначення функції
.
D(y) = (– 1; 0) 
(0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х — відстань, а це означає, що х ³ 0, тоді D(y) = (0; 1] — задана область визначення.
Означення. Функція y = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х Î D виконується умова f(– x) = f(x) (f (– x) = – f(x)).
Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х Î D, f(– x) ¹ ± f(x).
Рисунок 2, це графік парної функції, рисунок 3, – графік непарної функції
Рис. 2 Рис. 3
Означення. Функція 
називається періодичною, якщо для 
виконується умова 
де число Т — період функції.
Приклад. 
— періодична функція з мінімальним періодом Т = p (див. рис. 5), бо 
 |  | ||
| Рис.4 | Рис. 5 | ||
Означення. Функція 
називається обмеженою на множині D, якщо для всіх 
виконується умова 
де 
— деяке скінчене число.
Приклад. 
— обмежена функція для всіх х Î [– 1; 1] (рис. 6), бо 
.
Означення. Функція 
називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції, тобто 
Приклад. 
— монотонно спадна функція при 0 < a <1, а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
Елементарні функції
Основні з них:
1) степенева 
2) показникова 
(рис. 8);
3) логарифмічна 
(рис. 7);
4) тригонометричні: 
(рис. 2); 
(рис. 9); 
(рис. 5); 
(рис. 10);
5) обернені тригонометричні: 
(рис. 6); 
(рис. 4); 
(рис. 5); 
(рис. 11).
 |  |
| Рис. 8 | Рис. 9 |
Рис. 10 Рис. 11
Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченої кількості алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:
— елементарна функція.
Означення. Функція 
називається алгебраїчною, якщо 
— розв’язок рівняння
де 
— многочлени.
Приклад. Функція 
буде алгебраїчною, бо вона є розв’язком рівняння
.
Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.
Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.
Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен
Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів
, або 
.