Основні властивості неперервних функцій

Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції в нуль). Нехай функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і на його кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru така, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Доведення. Нехай для визначеності Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Розділимо відрізок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru навпіл. Якщо Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , то теорема доведена. Якщо Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , то виберемо ту половину відрізка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , на кінцях якої функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru має значення різних знаків, і позначимо її Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Розділимо відрізок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru навпіл. Якщо Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , то теорема доведена, в іншому випадку виберемо ту половину відрізка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , на кінцях якої функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru має значення різних знаків, та позначимо її Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Якщо цей процес продовжувати необмежено, то або на якомусь Основні властивості неперервних функцій - student2.ru -ому кроці значення функції в середині відрізка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru буде рівним нулю і тоді теорема доведена, або одержимо послідовність укладених відрізків

Основні властивості неперервних функцій - student2.ru

таких, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru при Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і на кінцях кожного з відрізків Основні властивості неперервних функцій - student2.ru функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru має значення різних знаків, Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

За теоремою про вкладені відрізки існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , яка належить кожному із відрізків Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і Основні властивості неперервних функцій - student2.ru Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Ураховуючи неперервність функції Основні властивості неперервних функцій - student2.ru (зокрема в точці Основні властивості неперервних функцій - student2.ru ), маємо Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Звідси одержуємо Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення). Нехай функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і на кінцях цього відрізка приймає значення Основні властивості неперервних функцій - student2.ru де Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Тоді для будь-якого числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru така, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Доведення. Нехай для визначеності Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Розглянемо допоміжну функцію

Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Ця функція неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і

Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

За першою теоремою Больцано-Коші існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru така, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Але Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Отже, Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , тобто Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Нехай функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Припустимо, що вона на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru не обмежена. Поділимо відрізок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru пополам і виберемо ту його частину, де функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru не обмежена. Позначимо її Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Відрізок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru також поділимо пополам і виберемо ту його частину, де функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru не обмежена. Позначимо вибрану половину Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Продовжуючи необмежено цей процес, одержимо послідовність укладених відрізків

Основні властивості неперервних функцій - student2.ru

таких, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru при Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . За теоремою про вкладені відрізки існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , яка належить кожному із них і Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . За означенням границі послідовності для будь-якого числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru >0 існує такий номер Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , що при Основні властивості неперервних функцій - student2.ru з іншого боку, існує такий номер Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , що при Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Нехай Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Тоді при Основні властивості неперервних функцій - student2.ru виконуються нерівності: Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , тобто всі відрізки Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , де Основні властивості неперервних функцій - student2.ru попадають в інтервал Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Таким чином, функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru не обмежена в деякому Основні властивості неперервних функцій - student2.ru -околі точки Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Але це неможливо, оскільки функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , а значить, неперервна і в точці Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , тобто в точці Основні властивості неперервних функцій - student2.ru існує скінченна границя функції Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , а тому в околі цієї точки вона обмежена.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , то вона досягає на цьому відрізку своїх точних меж, тобто існують такі точки Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , що

Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Доведення. Нехай функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . За першою теоремою Вейєрштрасса функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru обмежена. Отже, вона має точну верхню межу Основні властивості неперервних функцій - student2.ru і точну нижню межу Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Покажемо, що існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru така, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Припустимо, що в жодній точці відрізка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru не приймає значення, рівного Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , тобто для всіх точок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Складемо допоміжну функцію Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Ця функція на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна, а тому обмежена. Отже, існує число Основні властивості неперервних функцій - student2.ru таке, що для всіх Основні властивості неперервних функцій - student2.ru Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Із цієї нерівності маємо: Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Таким чином, Основні властивості неперервних функцій - student2.ru – верхня межа функції Основні властивості неперервних функцій - student2.ru на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Але це суперечить тому, що число Основні властивості неперервних функцій - student2.ru - точна верхня межа цієї функції на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Звідси випливає, що зроблене припущення неправильне, тобто існує точка Основні властивості неперервних функцій - student2.ru така, що Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Зауваження. Точна верхня межа функції Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , неперервної на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , називається її найбільшим (максимальним) значенням на цьому відрізку, а точна нижня межа – її найменшим (мінімальним) значенням. Різниця Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , де Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , називається коливанням функції на відрізку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

ЛЕКЦІЯ 14

2. Поняття рівномірної неперервності функції.

3. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

4. Теорема про неперервність оберненої функції.

1. Поняття рівномірної неперервності функції.

Нехай функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru неперервна на деякому проміжку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Виберемо довільну точку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru . Тоді за означенням неперервності функції в точці Основні властивості неперервних функцій - student2.ru для довільного числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru знайдеться число Основні властивості неперервних функцій - student2.ru таке, що нерівність Основні властивості неперервних функцій - student2.ru виконуватиметься для всіх Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , що задовольняють умову Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Зрозуміло, що число Основні властивості неперервних функцій - student2.ru залежить як від числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , так і від Основні властивості неперервних функцій - student2.ru (див. рис. 10).

 
  Основні властивості неперервних функцій - student2.ru

Виникає питання, чи існують неперервні функції, визначені на певних проміжках, такі, що для будь-якого числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru знаходилося б Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , незалежне від Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , тобто, щоб Основні властивості неперервних функцій - student2.ru було єдиним для довільного значення Основні властивості неперервних функцій - student2.ru із проміжку визначення функції Основні властивості неперервних функцій - student2.ru (залежне лише від Основні властивості неперервних функцій - student2.ru ) і таким, що нерівність Основні властивості неперервних функцій - student2.ru виконувалася б за умови Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Розв'язання цього питання приводить до поняття рівномірної неперервності функції.

Функція Основні властивості неперервних функцій - student2.ru називається рівномірно неперервною на проміжку Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , якщо для будь-якого числа Основні властивості неперервних функцій - student2.ru існує Основні властивості неперервних функцій - student2.ru таке, що для довільних точок Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , які задовольняють умову Основні властивості неперервних функцій - student2.ru , виконується нерівність Основні властивості неперервних функцій - student2.ru .

Наши рекомендации