В этом неравенстве суть проблем рационального использования ресурсов. Левая часть - фактическое использование ресурсов, правая часть - количество имеющихся ресурсов.

Оглавление

Введение. Основные понятия

1. Линейное программирование

1.1. Двойственные задачи в линейном программировании

1.2. Исходная задача линейного программирования

1.3. Сравнение линейных и нелинейных задач

1.4. Создание отчетов с помощью средства «Поиск решения»

2.Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования

2.1.Статус ресурсов

2.2. Ценность ресурса

2.3. Максимальное изменение запаса ресурса

2.4.Анализ на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции

3. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

3.1. Анализ на чувствительность оптимального решения на основе о. о. оценок

3.2. Изменение запасов ресурсов

3.3. Зависимость теневых цен от количества ресурса

3.4. Внедрение нового технологического способа производства

4. Теория двойственности

4.1. Двойственная задача

Библиографический список

Приложение 1.

Задания для лабораторных и практических работ

Введение.

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент, математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических величин и объектов и из сформулированных данных и соотношений получить выводы, адекватные изучаемому экономическому объекту или процессу. Для изучения различных экономических явлений используются их упрощенные формальные описания, называемые экономическими или экономико-математическими моделями. Примерами таких моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое экономическое явление. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет заранее оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки для выбора наиболее приемлемых решений при управлении.

Многие из разработанных в течение десятилетий экономико-математических моделей и методов достаточно сложны и во всей полноте доступны для понимания только специалистам. Кроме того, часть из них не до конца исследована. Поэтому при принятии важных решений в сложных случаях имеет место практика привлечения в качестве консультантов профессиональных экономистов. Однако, каких бы консультантов руководитель не привлекал, окончательные решения необходимо принимать ему лично. Поэтому менеджер должен уметь самостоятельно адекватно оценить сложившуюся ситуацию и на основе имеющихся знаний и опыта извлечь из нее максимальную выгоду, для управляемого им экономического объекта экономики (завода, фирмы, банка и т.п.). Он обязан также обладать достаточными знаниями, чтобы осуществлять общее руководство процессом применения решений, даже тогда, когда требуется помощь сторонних специалистов.

Основные понятия

Экономический смысл переменных. При решении задач линейного программирования необходимо соблюдать следующие условия:

1. C_max(min) = - линейная форма переменных, целевая функция подлежащая оптимизации и выражающая целевую установку задачи. Например, максимум прибыли.

2. Линейные ограничения на переменные представляют системой линейных неравенств или уравнений.

В этом неравенстве суть проблем рационального использования ресурсов. Левая часть - фактическое использование ресурсов, правая часть - количество имеющихся ресурсов.

3. X_j >= 0 - переменная в задаче, интенсивность использования каких-либо процессов.

В процессе решения задачи используются следующие понятия:

Продукция (П_i- ) продукт производства в вещественной или информационной форме, чаще всего в предметном виде, количественно измеряемый в натуральном и денежном выражении.

Производство - процесс создания разных видов экономического продукта.

Производитель - предприятие, организация, компания, лицо, производящие, изготавливающие продукцию, товары, оказываемые услуги.

Ресурсы (Р_i) (от франц. ressource — вспомогательное средство) фундаментальное понятие экономической теории, означающее в общем источники, средства обеспечения производства. Экономические ресурсы делятся на природные (сырьевые, геофизические), трудовые (человеческий капитал), капитальные (физический капитал), оборотные средства (материалы), информационные ресурсы, финансовые (денежный капитал). Однако такое деление не является строго однозначным.

Цена (С_i) - фундаментальная экономическая категория, означающая количество денег, за которое продавец согласен продать, а покупатель готов купить единицу товара. Цена определенного количества товара составляет его стоимость, поэтому правомерно говорить о цене как денежной стоимости единицы товара. В случае, когда единица данного товара обменивается на определенное количество другого товара, количество становится товарной ценой данного товара.

Ограничения (b_i) - означают, что для каждого способа выполнения работ, услуг, включенного в рассмотрение, оценки производимых работ не должны превосходить суммарной оценки расходуемых ресурсов (эксплуатационных затрат, приведенных капитальных затрат, затрат труда и т.д.).

Количество выпускаемой продукции - количество готовой продукции, произведенной в течение определенного времени.

Готовая продукция - продукция, завершенная в производстве и подготовленная к продаже или отправке заказчику, к вывозу из предприятия-изготовителя.

Прибыль - превышение доходов от продажи товаров и услуг над затратами на производство и продажу этих товаров. Это один из наиболее важных показателей финансовых результатов хозяйственной деятельности предприятия и предпринимателей. Прибыль исчисляется как разность между выручкой от реализации продукта хозяйственной деятельности и суммой затрат факторов производства на эту деятельность в денежном выражении. Различают полную, общую прибыль, называемую валовой (балансовой); чистую прибыль, остающуюся после уплаты из валовой прибыли налогов и отчислений; бухгалтерскую, рассчитываемую как разницу между ценой (доходами от продажи) и бухгалтерскими издержками, и экономическую прибыль, которая учитывает вмененные, альтернативные издержки.

Стоимость - цена товара; затраты денежных средств на приобретение товара, на выполнение работ и услуг, на получение благ.

Приращение ( b_i)- увеличение средств, ресурсов, расходов, результатов. Например, приращение прибыли, доходов, издержек.

Устойчивость цен - показатель чувствительности цены к изменению различных условий.

Дефицит - (от лат. deficit - недостает) недостаточность средств, ресурсов в сравнении с ранее намечавшимся, запланированным или необходимым уровнем.

Избыток - излишнее количество средств, ресурсов в сравнении с ранее намечавшимся, запланированным или необходимым уровнем.

Анализ - (от греч. analysis — разложение) метод научного исследования (познания) явлений и процессов, в основе которого лежит изучение составных частей, элементов изучаемой системы. В экономике анализ применяется с целью выявления сущности, закономерностей, тенденций экономических и социальных процессов, хозяйственной деятельности на всех уровнях (в стране, отрасли, регионе, на предприятии, в частном бизнесе, семье) и в разных сферах экономики (производственная, социальная). Анализ служит исходной отправной точкой прогнозирования, планирования, управления экономическими объектами и протекающими в них процессами. Экономический анализ призван обосновывать с научных позиций решения и действия в области экономики, социально-экономическую политику, способствовать выбору лучших вариантов действий.

Переменная (x_j) — интенсивность использования каких-либо процессов. В данной задаче - количество выпускаемой продукции.

Теневые цены (оценки оптимального плана, объективно обусловленные оценки, о. о. оценки) – предельные показатели, показывают интенсивность приращения функционала или улучшение оптимального решения при изменении ограничений в пределах полученных интервалов устойчивости оптимального решения.

Оптимальный план - наилучший вариант решения задачи, достижения цели.

1. Линейное программирование

1.1. Двойственные задачи в линейном программировании

Задача. Для изготовления 4 -х видов продукции (П₁, П₂, П₃, П₄) предприятие использует три типа ресурсов Р₁, Р₂, Р₃. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂, b₃. Расход ресурса i - го вида (i=1, 2, 3) на единицу продукции j - го вида (j=1, 2, 3, 4) составляет a_ij единиц. Цена единицы продукции j -го вида равна c_j денежных единиц.

Требуется:

- найти план выпуска продукции с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;

- дать экономический смысл всех переменных начальной и конечной таблиц, участвующих в решении задачи;

- указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурсы, если они имеются;

- найти интервал устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого типа;

- выявить изменения общей стоимости изготовления продукции, определяемой оптимальным планом ее производства, при изменении количества i - го ресурса на Db_i;

- провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах. Построить новый оптимальный план при одновременном изменении всех ресурсов;

- для данной задачи сформулировать двойственную задачу и составить ее математическую модель;

- установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию П₅, на единицу которой ресурсы расходуются в количествах a₁₅, a₂₅, a₃₅ единиц, а цена единицы готовой продукции составляет c₅;

- провести параметрический анализ изменения оценок ограничений и построить графики.

Для решения задачи исходные данные своего варианта записать в виде следующей таблицы:

Таблица 1

Форма исходных данных

Ресурсы	Продукция	Объем	Приращение	Новая про-
	П1	П2	П3	П4	ресурса	ресурса	дукция П5
Р1
Р2
Р3
Цена реализации					-

1.2. Исходная задача линейного программирования

Таблица 2

Исходные данные

Ресурсы	Продукция	Объем ресурса	Приращение ресурса	Новая продукция П5
П1	П2	П3	П4
Р1
Р2						-350
Р3						-20
Цена реализации

Для изготовления 4-х видов продукции (П₁, П₂, П₃, П₄) используется 3 вида ресурсов (Р₁, Р₂, Р₃) в объёме В₁, В₂, В₃.

Необходимо определить, сколько и с помощью каких ресурсов следует произвести продукции, чтобы выручка от реализации была MAX.

Пусть Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ - изготовлено продукции вида П₁, П₂, П₃, П₄, где Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ >= 0.

При условии выполнения ограничений

1) 3х₁ + 1х₂ + 1х₃ + 2х₄ ≤ 1700;

2) 2) 1х₁ + 2х₂ + 0х₃+1x₄ ≤ 350;

3) 3) 0х₁ +1x₂ + 2х₃ + 1х₄ ≤ 1500.

F_исх.= 50х₁ + 100х₂ + 1500х₃ + 400х₄ → max

Для этого допустимого плана определяем ограничения с помощью функции СУММПРОИЗВ. Аналогично рассчитывается функционал, т.е. значение целевой функции для допустимого плана с помощью функций СУММПРОИЗВ и СУММ.

Таблица 3

Допустимый план (х⁰)

Ресурсы	Продукция	Объем ресурса (В)	Виртуальные ограничения (Ах0)
П1	П2	П3	П4
Переменные (х0)
Р1
Р2
Р3
Цена реализации					-

С помощью "Поиска решения", находим оптимальное решение задачи.

Задача решается на максимум дохода, АХ <= B, Х_ij >= 0.

Средство - «Поиск решения» программы «Сервис».

Модуль - «Поиск решения» — это надстройка Excel. Создание рабочего листа для работы со средством «Поиск решения» аналогично созданию любого другого листа за исключением следующих моментов. Необходимо определить ячейку, содержащую решение (целевую ячейку). Она должна содержать формулу, значение которой будет изменяться при изменении значений некоторых ячеек (диапазона ячеек).

Необходимо указать диапазон ячеек (изменяемые ячейки), которые будут изменяться в процессе поиска решения. Необходимо указать ограничения, накладываемые на каждую изменяемую ячейку.

Создав рабочий лист, обязательно сохраните его. В дальнейшем может понадобится вернуться к исходным данным.

		функионал

		переменные
	ограничения

Рис.1. Вид рабочего листа «Поиск решения»

Для работы в модуле «Поиск решения» в диалоговом поле «Установить целевую ячейку» указывается адрес ячейки, которая будет содержать решение задачи. Ячейка назначения также называется целевой ячейкой. Это ячейка, в которой появляется ответ: это может быть максимальная, минимальная или какая-то конкретная величина. Укажите решение в разделе «Равной» (максимальное значение, минимальное или определенная величина). Ячейка назначения содержит формулу, результат которой изменяется в зависимости от изменения изменяемых ячеек.

Для установки ячеек, значения в которых могут изменяться, используйте поле «Изменяя ячейки». Изменяемые ячейки также называются переменными в задаче. Средство «Поиск решения» изменяет значения в этих ячейках до тех пор, пока в ячейке назначения не появится ответ (или ответ не может быть найден).

Установите ограничения в списке «Ограничения». Ограничения - это значения, которые вы указываете ячейкам (ячейкам назначения или изменяемым ячейкам), требуя, чтобы значения находились в заданном диапазонах. Например, к изменяемой ячейке может быть приложено значение, которое потребует, чтобы средство «Поиск решения» использовало числа, которые находятся между указанными максимальным и минимальным значениями.

Модуль «Поиск решения» можно использовать для решения следующих задач.

Структура продукции. Пусть имеется ограниченное количеством ресурсов и техники для производства продукции. Используя средство «Поиск решения», можно разработать план максимизации дохода при имеющихся ресурсах.

График работы. Можно составить с помощью средства «Поиск решения» график работы служащих (40 часов в неделю работы каждого сотрудника) и рассчитать минимальные затраты на заработную плату.

Транспортная задача. Можно минимизировать стоимость перевозок с одного склада на другой при максимально возможной скорости доставки.

Сочетание. Можно определить соотношение различных видов акций в портфеле ценных бумаг при максимальной скорости оборота и заданном уровне риска.

Модуль «Поиск решения» можно использовать для оптимизации наличных ресурсов (таких, как материалы, труд, время и др.).

1.3. Сравнение линейных и нелинейных задач

Средство «Поиск решения» может решать два типа задач - линейные и нелинейные. Если в линейных задачах представить график ответов, то он будет представлять собой прямую линию (любое изменение в изменяемых ячейках приводит к соответствующему изменению в ячейке с ответом). Модели, которые используют только сложение, вычитание или функцию СУММ, являются линейными.

Примеры линейных задач. Увеличение количества работников может привести к увеличению себестоимости выпускаемой продукции.

Уменьшение количества дорогостоящих компонентов, содержащихся в производимых изделиях, может увеличить прибыль.

Более сложные задачи — нелинейные. Они не приводят к прямой линии при отображении их на графике. Их формулы могут включать умножение, деление или вычисление экспоненциальной функции.

Примеры нелинейных задач. Увеличение содержания легирующего компонента в стали повышает прочность последней только до некоторой степени, после которой прочность остается постоянной величиной, независимо от того, насколько еще увеличится содержание компонента.

Увеличение количества служащих позволит лучше обслужить клиентов и увеличить доход. Но при достижении определенного количества работников, наем дополнительных служащих приведет к уменьшению прибыли.

Очень важно знать, является ли решаемая задача линейной или нелинейной. Средство «Поиск решения» предполагает, что задача линейна, если только не указано обратное. Решение линейных задач с использованием нелинейных функций (и наоборот) приводит к неточным, а иногда к абсолютно неверным результатам.

Задачу можно считать нелинейной, если в ней используются экспоненциальная, комплексная и все логарифмические функции, (КОРЕНЬ), или изменяемые ячейки умножаются или делятся одна на другую.

1.4. Создание отчетов с помощью средства «Поиск решения»

С помощью модуля «Поиск решения» можно создавать три типа отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы. Каждый отчет создается в новом листе рабочей книги. Можно создать отчет Результаты для любого решения с помощью «Поиска решения». Отчеты Устойчивость и Пределы могут быть созданы только тогда, когда значениями изменяемых ячеек будут не только целые числа. Для создания отчета необходимо выполнить следующие действия.

Таблица 4

Результаты

Целевая ячейка (Максимум)
Имя	Исходно	Результат
Цена реализации. Объем ресурса		1140833,3
Имя	Исходно	Результат
П1		316,66667
П2
П3
П4
Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
Р1 Объем ресурса		$H$13<=$I$13	связанное
Р2 Объем ресурса	316,67	$H$14<=$I$14	не связан.	33,33
Р3 Объем ресурса		$H$15<=$I$15	связанное
П1	316,67	$D$12>=0	не связан.	316,67
П2		$E$12>=0	связанное
П3		$F$12>=0	не связан.
П4		$G$12>=0	связанное

Отчет Результаты содержит информацию о целевых ячейках, изменяемых ячейках и ограничениях.

Целевая ячейка. В области отчета Целевая ячейка отображаются адрес ячейки, имя (если есть), начальное и конечное значения.

Изменяемые ячейки. В области отчета Изменяемые ячейки приведены адрес изменяемых ячеек, их имена (если есть), их начальные и конечные значения.

Ограничения. В этой области отчета указаны адрес, имя (если есть), текущее значение и формула ячейки. Также представлены два дополнительных столбца информации - состояние и разница. В этих столбцах указано, как удовлетворяется каждое из ограничений.

В столбце Состояние могут быть установлены два параметра: связанное или не связанное. Значение ячейки со статусом связанное равняется значению ограничения. Статус не связанное обозначает, что конечное значение ячейки не равно ограничению, указанному в столбце. По мере того как будет увеличиваться значение в этом столбце, будет увеличиваться расстояние между последним значением ячейки и ограничением. Чем меньше значение в столбце Разница, тем больше вы ограничены в возможности вручную изменять значения. Например, если значение в этом столбце равно нулю, то вы не сможете вручную изменить значение. Если разница большая, то вы можете изменять значение ячейки, чтобы увидеть изменения в других ячейках, не выходя при этом за границы ограничений.

Значения в столбце Разница могут оказаться не сравниваемыми. Одно значение может представлять количество проданных товаров, а другое — прибыль в денежном исчислении

Сообщение: «Поиск не может найти подходящего решения». Это сообщение о том, что средство «Поиск решения» не нашло решения, которое удовлетворяет ограничениям и указанной точности. Определите, как каждое ограничение влияет на другие решения, а затем, внеся необходимые изменения, снова запустите средство «Поиск решения».

Для линейных и нелинейных задач создаются различные отчеты. Можно создавать отчеты Устойчивость и Пределы только в том случае, если к изменяемым ячейкам не было приложено целочисленное ограничение.

Таблица 5

Продукция	Объем ресурса (В)	Фактически используемый ресурс (Ах)
	П1	П2	П3	П4
	316,67
Р1 Объем ресурса
Р2 Объем ресурса						316,67
Р3 Объем ресурса
Функционал					-	1140833,3

2. Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования

При решении задачи можно получить информацию относительно:

- оптимального решения;

- статуса ресурсов;

- ценности каждого ресурса;

- чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.

По результатам решения видно, что при данных условиях оптимальный доход от реализации продукции составит 1140833,3 руб.

Таблица 6

Продукция	Объем ресурса (В)	Фактически используемый ресурс (Ах)
	П1	П2	П3	П4
	316,67
Р1 Объем ресурса
Р2 Объем ресурса						316,67
Р3 Объем ресурса
Функционал					-	1140833,3

Таблица 7

Оптимальное решение

Переменные	Оптимальные значения	Решение
X1- П1	316,67	Объем производства продукции П1 должен быть равен 316,6 ед.
X2- П2		Объем производства продукции равен 0
X3- П3		Объем производства продукции П3 должен быть равен 750
X4- П4		Объем производства продукции равен 0
F(x)-max	1140833,3 руб.	Доход от реализации продукции будет равен 1140833,3 руб.

Данному решению задачи соответствует отчет по устойчивости.

Таблица 8

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	коэффициент	увеличение	уменьшение
	$D$12	П1	316,67
	$E$12	П2		-658,33		658,33	1E+30
	$F$12	П3				1E+30
	$G$12	П4		-375			1E+30

Ограничения ячейка	Имя	Результ. значение	Теневая цена	Ограничение правая часть	Допустимое увеличение	Допустимое уменьшение
$H$13	Р1 Объем ресурса		16,67
$H$14	Р2 Объем ресурса	316,67			1E+30	33,33
$H$15	Р3 Объем ресурса		741,67

2.1.Статус ресурсов

Ресурсы относятся либо к дефицитным, либо к недефицитным – в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальное решение задачи.

Таблица 9

Имя	Результирующее значение	Ограничение правая часть	Излишки	Статус ресурса
Р1 Ограничение 1				дефицитный
Р2 Ограничение 2	316,6		33,3	недефицитный
Р3 Ограничение 3				дефицитный

Положительное значение излишка указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т.е. данный ресурс является недефицитным. Если значение излишка равно 0, это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Необходимо ответить на вопрос, какому из дефицитных ресурсов отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, чтобы получить от них максимальную отдачу. Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев ценность ресурсов, т.е. количественную их оценку.

2.2. Ценность ресурса

Ценность ресурса характеризуется величиной изменения оптимального значения F(x), приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса.

Таблица 10

Статус ресурсов	Теневая цена
P1-ресурс дефицитный	16,67
P2-ресурс недефицитный
P3-ресурс дефицитный	741,67

Несмотря на то, что ценность различных ресурсов, определяемая значениями теневых цен, представляется в стоимостном выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов.

На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения F(x).

При изменении ограничений модели соответствующие экономические оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов используются такие термины, как теневая цена, двойственные оценки, объективно обусловленные оценки и т.п.

Теневая цена показывает степень дефицитности ресурсов. Каждый ресурс получает оценки в единицах измерения функционала. Если ресурс используется полностью, то его оценка положительна. Если ресурс недоиспользуется, то его оценка равна нулю. О. о. оценки показывают абсолютный прирост оптимизируемого показателя (выручки) в случае увеличения или уменьшения объема этого ресурса, но в допустимых пределах. И чем выше оценка, тем большими темпами изменяется функционал.

В задаче ресурсы Р₁ и Р₃ являются дефицитными (полностью востребованными), ресурс Р₂ недоиспользуется, т.е. является недефицитным. Ресурс Р₃ наиболее ценный по сравнению с Р₁, так как его теневая цена наибольшая из оценок. То есть, чем выше теневая оценка, тем более ценен ресурс.

2.3. Максимальное изменение запаса ресурса

При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, используются теневые цены.

В отчете указывается интервал допустимого увеличения и уменьшения ресурсов Р₁, Р₂, Р₃. Одновременно в отчете указываются границы устойчивости решения в смысле набора переменных и значения теневых цен. При этом сам функционал и значения переменных могут изменяться, а ассортимент выбираемых видов продукции не меняется, как и значения теневых цен.

Таблица 11

Ограничения

Имя ограничения	Результирующее значение	Теневая цена	Ограничение правая часть	Допустимое увеличение	Верхняя граница	Допустимое уменьшение	Нижняя граница
Р1		16,67
Р2	316,6			1E+30	350+(1E+30)	33,3	316,6
Р3		741,67

Любое значение (P₁)-(P₃), выходящее за предел указанных интервалов, приведет к недопустимости решения и новой совокупности переменных.

2.4.Анализ на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции

В отчете по устойчивости в разделе "Изменяемые ячейки" кроме значения переменных указывается нормированная стоимость переменных и интервалы изменений коэффициентов целевой функции, при которых набор переменных остается неизменным.

Таблица 12

Изменяемые ячейки

Имя переменной	Результирующее значение	Нормирова-нная стоимость	Целевой коэффициент	Допусти-мое увеличение	Верхняя граница	Допустимое уменьшение	Нижняя граница
Переменные П1	316,67
Переменные П2		-658,3		658,3	758,3	1E+30	100-(1E+30)
Переменные П3				1E+30	1500+ (1E+30)
Переменные П4		-375				1E+30	400-(1E+30)

Нормированная стоимость показывает оценки всех способов в оптимальном плане. Если нормированная стоимость равна нулю, то такой способ производства рентабелен. Если нормированная стоимость отлична от нуля, то такой способ производства убыточен. Из отчета по устойчивости видно, что производство П₁ и П₃ выгодно, производство продукции П₂ и П₄ убыточно, т.е. для производства продукции П₂ и П₄ тратится больше средств, чем получается от ее реализации, т.е. их производство убыточно.

Докажем, что производство П₁ и П₃ выгодно. Определим скалярное произведение технологического способа производства каждого вида продукции (вектор технико-экономических показателей, т.е. затраты ресурсов на производство продукции, табл. 2, исчисленные в ценах оптимального плана), на вектор теневых цен – объективно обусловленные оценки, табл 11 (16,67, 0, 741,67). Сравниваем полученное значение с ценой реализации задач, которая задана по условию: 50, 100, 1500, 400. То есть от полученной выручки отнимаем цену реализации. Видим, что производство П1 рентабельно (оценка способа равна нулю), производство П2 убыточно (убытки составляют- 658,33 ед.), производство П3 рентабельно (оценка способа равна нулю), производство П4 убыточно (убытки составляют-375ед.), что и требовалось доказать.

То есть в отчете выдаются рекомендации, при какой цене выгодно производить данный вид продукции - столбец "Необходимая цена" таблицы 10.

Таблица 13

Имя	Результ. значение	Нормир. стоимость	Необходимая. цена	Цена реализации	Разница
Переменные (х1) П1	316,66
Переменные (х2) П2		-658,33	758,33		-658,33
Переменные (х3) П3
Переменные (х4) П4		-375			-375

3. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

Оптимальное решение задачи линейного программирования существенно зависит от реальной экономической ситуации, складывающейся на предприятии. На решение могут повлиять следующие экономические ситуации:

1) изменение запасов ресурсов;

2) внедрение нового технологического способа производства, позволяющего снизить расход ресурсов;

3) изменения в ценовой политике на предприятии;

4) предполагаемый выпуск нового вида продукции.

Результаты влияния данных экономических ситуаций на оптимальное решение можно получить в ходе проведения экономико-математического анализа модели на чувствительность.

3.1. Анализ на чувствительность оптимального решения на основе о. о. оценок

Анализ на чувствительность оптимального решения основывается на свойствах о. о. оценок (теневых цен).

1. Двойственные оценки (теневые цены) характеризуют дефицитность ресурсов. Каждый ресурс получает оценки в единицах измерения функционала. Если ресурс используется полностью, то его оценка положительна. Если ресурс недоиспользуется, то его оценка равна нулю.

2. О. о. оценки показывают абсолютный прирост оптимизируемого показателя (выручки) в случае увеличения или уменьшения объема этого ресурса, но в допустимых пределах. И чем выше оценка, тем большими темпами изменяется функционал.

3. О. о. оценки являются являются показателями эффективности производства отдельных видов продукции с позиции критерия оптимальности. С этой точки зрения в оптимальный план может быть включена лишь та продукция j-го вида, для которой выполняется условие

,

где u_i – оптимальное значение двойственной оценки i-го ресурса;

a_ij – технологические коэффициенты;

c_j – доход, получаемый с единицы продукции j – го вида;

m – количество видов ресурсов.

4. О. о. оценки позволяют провести сравнение суммарных условных затрат и результатов. Это свойство следует из принципа двойственности, в котором устанавливается связь между значениями функции прямой и двойственной задач, т.е. F(x)_max = F(y)_min. Это означает, что оценка всех затрат производства должна равняться оценке произведенного продукта.

3.2. Изменение запасов ресурсов

Значение о. о. оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на 1 ед. На основании свойств оценок можно записать

(*),

где u_i – оптимальное значение двойственной оценки i-го ресурса;

-приращение ресурса i-го вида;

- приращение функционала.

В примере увеличение первого ресурса на 1 ед. привело бы к росту _max на 16,67 ед.( = u₁* =16,67*1).

Двойственная оценка для недефицитного ресурса равна нулю, так как ресурс используется не полностью и незначительное увеличение его запаса ( ) не повлияет на оптимальное решение.

Используя аналитическое выражение (*), мы можем выявить только направление деятельности по устранению "узких" мест, обеспечивающих наибольшее изменение целевой функции. Это изменение определяется величиной u_i и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин b_i значения переменных u_i, соответствующих двойственной задаче, в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных ограничений, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняются.

Интервал устойчивости оценок по отношению к изменению первого ресурса будет равен 750-1800 ед. ресурса.

Так как величина изменения ресурсов находится в пределах устойчивости оценок, то их раздельное влияние на величину доходов _max определяется произведением оценки u_i и величины :

¹_max = 16,67* , то есть 16,67*2 =33,34 д. ед.

Можно определить целесообразность дополнительного приобретения дефицитного ресурса, используя четвертое свойство двойственных оценок.

Пример. Определить, выгодно ли приобретать дополнительно первый ресурс в размере 2 ед. по цене …..q₁ (15 д. ед.) за ед. ресурса:

.

Приращение первого ресурса на величину =2 ед. находится в пределах устойчивости двойственности оценок. Следовательно, ¹_max = * q₁ =2*15 =30 д. ед.

Поскольку величина дополнительных доходов ( ¹_max =33,34) больше дополнительных затрат, закупать первый ресурс в размере 2 ед. по цене q₁ =15 д. ед. целесообразно.

3.3. Зависимость теневых цен от количества ресурсов

Рассмотрим зависимость теневых цен от количества ресурса Р₁.

Получаем такие результаты.

Таблица 18

Результат решения

Количество Р1, ед.
Оценка		16,67	16,67	16,67

Рассмотрим, как изменится выручка от реализации при изменении первого ресурса на 100 ед. в соответствии с условием задания (пункт 9 задания- параметрический анализ изменения ограничений ).

В соответствии с отчетом по устойчивости оптимального плана изменение первого ресурса Р₁ на 100 ед. не выходит за допустимые пределы изменения ресурса, поэтому его оценка не меняется и составляет 16,67 ед. По этой причине при увеличении Р₁ на 100 ед. выручка должна вырасти на 1666,67 руб. (16,67*100).

При Р₁=1700. Выручка=1140833,33 руб.

При Р₁=1800. Выручка=1142500 руб. Разница 1142500-1140833,33 = 1666,67 (16,66667*100).

Теперь уменьшим ресурс Р₂ на 350.

Таким образом, Р₂ становится равным 0 и, следовательно, производство продукции, где используется второй ресурс, невозможно.

При уменьшении ограничения ресурса Р₂ на 350 выручка от реализации составила 1125000 руб., т.е. она уменьшилась на (1140833,333-1125000)=15833,3 руб.

При этом изготавливается только продукция П₃ в размере 750 ед.

Снижение Р₂ до нуля выходит за допустимые пределы изменения ресурса, оценка ресурса меняется и составляет 50 д. ед.

Наиболее дефицитным для производства продукции является ресурс Р₃, его теневая цена = 750 ед.

Уменьшим ресурс Р₃ на 20.

Получается следующий оптимальный план.

Таблица 14

Оптимальный план

Ограничения	Переменные в задаче	Объем ресурса
	П1	П2	П3	П4
Ресурсы
Р1
Р2
Р3
Цена реализации

Уменьшение ресурса P₃ на 20 ед. не выходит за пределы допустимого изменения ресурса, поэтому при уменьшении Р₃ на 20 ед. выручка должна уменьшиться на 14833,33 руб. (741,6667*20).

При Р₃=1500, выручка=1140833, 33 руб.

Разница составляет 1140833,33-1126000=14833,33 (741,67*20).

При этом целесообразно производить продукцию П₁ и П₃ в объеме 320 и 740 ед. соответственно.

Так как уменьшение Р₃ не выходит за допустимый предел изменения, его оценка не меняется.

Таблица 15

Результат решения

Ячейка	Имя	Результ. значение	Теневая цена	Ограничение правая часть	Допустимое увеличение	Допустимое уменьшение
$H$7	Р1		16,67
$H$8	Р2				1E+30
$H$9	Р3		741,67

При Р₃=1500 выручка=1140833, 33 руб.(прежняя).

Ресурсы Р₁ и Р₃ дефицитные, т.е. используются полностью, из них наиболее дефицитен ресурс Р₃, его оценка равна 741,667 ед.

Ресурс Р₂ недоиспользуется, он остается в излишке (30 ед.).

Рассмотрим, как изменится выручка от реализации при одновременном изменении всех ресурсов.

При изменении всех ресурсов Р₁, Р₂, Р₃ выручка от реализации составляет 1110000 руб., т.е. уменьшается по сравнению с первоначальной на (1140833,3-1110000) = 30833,3 руб.

Таблица 16

Результат решения

	П1	П2	П3	П4		Объем ресурса
	-9,3E-12
Р1
Р2					-9,3E-12
Р3
Цена реализации

Таблица 17

Результат решения

Ограничения	Результ. значение	Теневая цена	Ограничение правая часть	Допустимое увеличение	Допустимое уменьшение
Ячейка	Имя
$H$6	Р1				1E+30
$H$7	Р2	-9,32232E-12			353,3333333
$H$8	Р3

При этом целесообразно изготовление продукции П₃ в количестве 740 ед., при этом наиболее дефицитным для производства продукции является ресурс Р₃, его теневая цена составляет 750 ед.

В дефиците и ресурс Р₂, ресурс Р₁ остается в излишке, т. е. недоиспользуется. При этом продукция П₁, П₂ и П₄ не может быть произведена, т.к. в ее изготовлении используется второй ресурс Р₂, запасы которого нулевые (объем Р₂ = 0).

Рассмотрим зависимость о. о. оценок (теневых цен) от количества имеющихся ресурсов.

При этом можно учесть полученные ранее допустимые границы увеличения и уменьшения ресурсов из отчета по устойчивости и ранее полученные значения теневых цен в зависимости от наличия ресурсов.

Во всех случаях при изменении ресурса в пределах допустимых изменений о. о. оценки не меняются. Вне допустимых изменений, чем ниже количество ресурса, тем выше оценка, и наоборот, чем больше наличного ресурса, тем его оценка ниже. Можно построить графики зависимости теневых цен ограничений от наличия ресурсов, используя стандартные функции EXCEL (диаграммы).

3.4.Внедрение нового технологического способа производства

Новый технологический способ производства предполагает либо выпуск нового вида продукции, либо изменение технологических коэффициентов a_ij, стоящих в левой части ограничений. Для определения эффективности внедряемого нового технологического способа с успехом могут быть использованы двойственные оценки.

Согласно третьему свойству двойственных оценок, в оптимальный план включается новая продукция j - го вида, для которой выполняется условие

,

Затраты, исчисленные в оценках оптимального плана, сравниваются с ценой реализации этой продукции. Если доход от реализации превышает "затраты", рассчитанные с применением теневых цен, производство новой продукции целесообразно.Необходимо установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию П₅.

Здесь могут быть два варианта ответа.

1 вариант.

С помощью о. о. оценок (теневых цен) определяем рентабельность производства продукции нового вида по аналогии с предыдущим расчетом нормированных цен, табл. 11. Для этого используется функция СУММПРОИЗВ, т.е. определяется скалярное произведение технологического способа производства пятого вида продукции (вектор технико-экономических показателей, т.е. затраты ресурсов на производство продукции) на вектор теневых цен – объективно обусловленные оценки, табл. 11. (16,67, 0, 741,67). Затем полученный результат сопоставляется с коэффициентом функционала, если разница положительна, то производство нового вида продукции рентабельно, если обратное, то – нет.

2 вариант.

Этот результат можно проверить, решив задачу с привлечением нового столбца в исходной матрице задачи.

Для нашего примера при изготовлении 5-ти видов продукции (П₁, П₂, П₃, П₄, П₅) используется 3 вида ресурсов (Р₁, Р₂, Р₃) в объеме В₁, В₂, В₃.

Необходимо определить, сколько продукции и с помощью каких ресурсов следует ее произвести, чтобы выручка от реализации была MAX.

Пусть Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅ - изготовлено продукции вида П₁, П₂, П₃, П₄, П₅, где Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅ >= 0.

Должны выполняться условия использования ресурсов (1) - (3).

1) 3х₁ + 1х₂ + 1х₃ +2х₄+ 2х₅ <= 1700;

2) 1х₁+ 2х₂ + 0х₃ + 1х₄ + 2х₅ <= 350;

3) 0х₁+ 1х₂ + 2х₃+ 1х₄ + 1х₅ <= 1500

F_исх.= 50х₁ + 100х₂ + 1500х₃ + 400х₄ + 120х₅ → max

Таблица 18

Результат решения

Ограничения	Переменные
	П1	П2	П3	П4	П5		Объем ресурса
	316,67
Р1
Р2						316,67
Р3
Цена реализации

Таблица 19

Результат решения