Методы прогнозирования на трендовых моделях

При прогнозе значений изучаемого явления наиболее часто используют экстраполяцию тренда, т.е. продлевают в будущее тенденции, наблюдавшиеся на тренде в прошлом. При таком подходе предполагаются выполненными следующие допущения:

а) развитие допускаемого явления характеризуется плавно меняющейся траекторией (трендом);

б) условия, определявшие тенденцию развития явления в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем.

При использовании экстраполяции тренда для предсказания значений изучаемого явления будем получать точечные прогнозируемые значения этого явления. Однако экономические явления описываются, как правило, непрерывными случайными процессами, а предсказать значение непрерывного случайного процесса можно только с вероятностью 0 (так как вероятность попадания в конкретную точку множества нечисловой прямой равна ничтожно мала), поэтому прогноз точечных значений экономического явления не имеет смысла. Прогноз числовых значений рассматриваемого явления можно выдать в виде некоторого доверительного интервала, которому с доверительной вероятностью p должно принадлежать в будущий момент времени числовое значение процесса (явления).

В общем случае принципы доверительного интервала, которому в момент времени t+l с заданной вероятностью p должно принадлежать значение временного ряда, описывающего некоторые явления, определяются по формуле:

,

где - значение тренда в момент времени t+l, t_α – значение t – статистики, определяемое по таблице распределения Стьюдента, входами в которую являются p=1-α и число степеней свободы v=n-r-1 – число производственных наблюдений, n – число оцениваемых параметров в (r=2, если = a + b_* t, r=3, если s_p – среднеквадратическая ошибка прогноза).

Если тренд является линейным (т.е. y_t = a +b_* t), то

.

Если = a + b* t + c* t², то

где s – среднеквадратическое отклонение членов ряда от тренда:

, t_l – момент времени, для которого осуществляется прогноз, т.е. t₁=t+l.

При краткосрочном прогнозе используют формулу:

y_t+1 = q_t, где q_t – так называемая экспоненциальная средняя, задаваемая соотношением:

, ,

- коэффициент, характеризующий вес текущего наблюдения:

(0,1).

Границы доверительного интервала, которому с вероятностью p=1-α, принадлежит математическое ожидание прогностической оценки, т.е. my_t+1 =mq, имеет вид:

,

здесь σ – среднеквадратическое отклонение y_t, т.е. .

Существует еще один вид прогнозирования – так называемое адаптивное прогнозирование или прогнозирование с «самообучением».

Методы адаптивного прогнозирования позволяют с получением новой информации корректировать ошибку прогноза. Рассмотрим один из таких методов. Введем некоторые новые понятия, связанные с экспоненциальной средней. Экспоненциальную среднюю вычисляем по формуле:

, , (0,1),

Будем называть её экспоненциальной средней первого порядка. Величину q_t , экспоненциальную среднюю k-го порядка, вычисляем последовательно по формулам:

,

,

.

.

.

,

Пусть - прогностическое значение y_t на l шагов вперед и . Можно доказать, что коэффициенты a, b,… могут быть выражены через экспоненциальные средние соответствующих порядков. тогда и будет выражено через эти средние. в частности для линейной зависимости имеем:

;

для квадратичной зависимости будем иметь:

При расчете экспоненциальных средних по рекуррентной формуле

возникает проблема определения начальных значений этих средних , , … Если временной ряд короткий, и прогностические значения необходимо определять за не более, чем 15 шагов, то к выбору , , … следует подходить осторожно. Неудачный выбор этих средних может привести к неудачному прогнозу. Рекомендуется эти значения определять следующим образом:

- для линейной модели:

;

;

- для квадратической модели:

;

;

,

где a, b, c, - коэффициенты в уравнении прямой (a, b) или параболы (a, b, c), подобранные с помощью метода наименьших квадратов при выравнивании временного ряда.

Задание

1) Каждый студент получает у преподавателя численные ряды исходных данных о деятельности производственной системы и преобразует из них выражения Кобба-Дугласа к линейной форме.

2) Численная факторная модель прогнозирования преобразуется студентом к виду функции Кобба-Дугласа, и на последних пяти точках исходного ряда определяются:

- средняя ошибка прогноза;

- предельная эффективность;

- эластичность выпуска;

- предельная норма замещения ресурсов;

- эластичность замещения.

Полученные характеристики представляются в табличном виде, проводится анализ результатов.

3) С использованием трендовых моделей факторов аргументов производится инерционный прогноз изменения ресурсов (на 3-5 периодов).

На базе заданного нормативного показателя изменения ресурсов (10-12%) определяется нормативный прогнозный ряд.

4) Все расчеты производятся при помощи программного средства.

Контрольные вопросы

1) Расскажите об основных методах подбора кривых при выравнивании временного ряда.

2) Поясните идею применения метода наименьших квадратов при выравнивании временного ряда.

3) Укажите оптимальные оценки параметров, полученные с помощью метода наименьших квадратов при выравнивании ряда: линейной функцией; полином второй степени; показательной функцией.

4) Приведите математическую модель прогноза значений временного ряда, характеризующего изменения во времени некоторого экономического явления.

5) Приведите математическую модель адаптивного прогнозирования.

Список литературы1. Балагин, В.В. Теоретические основы автоматизированного управления / В.В. Балагин. – Минск: Высш. шк., 1991.2. Ехлаков, Ю.П. Теоретические основы автоматизированного управления / Ю.П. Ехлаков, Г.А. Ходжаев. – Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та, 1992.

3.Розен, В.В. Математические модели принятия решений в экономике / В.В. Розен. – М.: Высш. шк., 2002.

4. Сакович, В.А. Исследование операций / В.А. Сакович. – Минск: Высш. шк., 1985.

5. Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. – М.: Дрофа, 2006.

6. Справочник по математике для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.: Высш. шк., 1987.

7. Эддоус, Л. Теория принятия решений / Л. Эддоус, А. Стэнсфилд. – М.: Мир, 1997.

8. Экономико-математические методы и модели / под ред. А.В. Кузнецова. – Минск: Изд-во БГЭУ, 2000.

9. Экономико-математические методы и прикладные модели / под ред. В.В. Федосеева. – М.: Юнити, 1999.

10. Ходжеев, Г.А. Принятие управленческих решений / Г.А. Ходжеев. – Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та, 1991.

11. Шикин, Е.В. Исследование операций / Е.В. Шикин. – М.: Проспект, 2008.

Практическое занятие №6