Расчет среднего дохода домохозяйства и дисперсии

Средняя ошибка выборки составит:

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2):

Установим границы генеральной средней (тыс. руб.):

11,6 - 0,28 ≤ x^¯ ≤11,6 + 0,28

или

11,32 ≤x¯≤ 11,88.

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний доход домохозяйства в целом по региону лежит в пределах от 11,3 до 11,9 тыс. руб. I

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки не
обходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

(7.4)

Если предположить, что представленные в табл. 7.1 данные являются результатом
5%-ного бесповторного отбора (следовательно, генеральная совокупность включает 22000
домохозяйств), то средняя ошибка выборки будет несколько меньше:

Соответственно уменьшится и предельная ошибка выборки, что вызовет сужение гра­ниц генеральной средней. Особенно ощутимо влияние поправки на бесповторность отбора при относительно большом проценте выборки.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней. Рассмотрим теперь, как определяются границы генеральной доли, т.е. границы доли единиц, обладающих тем или иным значением признака.

Воспользуемся еще раз данными табл. 7.1 для того, чтобы определить границы доли домохозяйств, доходы которых составляют менее 10 тыс. руб. Согласно результатам об­следования, численность таких домохозяйств составила 52+354=406. Определим выбо­рочную долю и дисперсию:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

A_w = 2∙0,014 = 0,028.

Определим границы генеральной доли:

0,369 - 0,028 <р< 0,369 + 0,028

или

0,341 <р<0,397.

Следовательно, с вероятностью 0.954 можно утверждать, что доля домохозяйств, имеющих доходы менее 10 тыс. руб., в целом по данному региону находится в пределах от 34,1 до 39,7%.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объ­ем выборочной совокупности и требует определения.

Чем больше объем выборки, тем меньше значения средней и предельной ошибок выборочного наблюдения и, следовательно, тем уже границы генеральной средней и гене­ральной доли. В то же время, необходимо учитывать, что большой объем выборки приводит к удорожанию обследования, увеличению сроков сбора и обработки материалов, требует привлечения дополнительного персонала и соответствующего материально-технического обеспечения. Затраты всех ресурсов на 20-30%-ное выборочное наблюдение уже сопоста­вимы с расходами на сплошное обследование. При этом не следует забывать, что статисти­ческие характеристики, полученные по выборочной совокупности, всегда имеют вероятно­стную основу и всегда будут уступать результатам сплошного наблюдения по точности и надежности. Поэтому при подготовке выборочного наблюдения необходимо определить тот минимально необходимый объем выборки, который обеспечит требуемую точность полу­ченных статистических характеристик при заданном уровне вероятности.

Представим формулу (7.2) следующим образом:

(7.5.)

Отсюда можно вывести формулу для определения необходимого объема собст­венно-случайной повторной выборки:

(7.6.)

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округ­ляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выбор­ки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы. С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокуп­ность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

Как видно из формулы (7.6) необходимый объем выборки будет тем больше, чем выше заданный уровень вероятности и чем сильнее варьирует наблюдаемый признак. В то же время повышение допустимой предельной ошибки выборки приводит к снижению не­обходимого ее объема.

Расчет необходимого объема выборки предполагает, что организаторы выборочного наблюдения уже на этапе его проектирования располагают по крайней мере косвенными дан­ными о вариации изучаемых признаков. Источниками таких данных могут служить:

а) результаты исследования данного объекта в предшествующие периоды;

б) результаты исследования аналогичных объектов (жителей других населенных
пунктов, предприятий других регионов и т.п.);

в) специально проведенное небольшое по объему выборочное обследование данного объекта, ставящее целью лишь изучение вариации наблюдаемых признаков.

При определении необходимого объема выборки для определения границ гене­ральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изу­чаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа па поставленный вопрос воспользуемся формулой (7.6) и бу­дем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разгово­ров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборкиможет быть определен по следующей формуле:

(7.7.)

Укажем на одну особенность формулы (7.7). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц. Например, подставив в данную формулу общую численность населе­ния региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необ­ходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бы­вает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.