Тема 6. Функции нескольких переменных
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Найти частные производные функций двух переменных
а) .
Решить задачи [Л1, с.504, 505]:
9.44, 9.46 на дом 9.47, 9.50.
3. Полагая, что произвольная функция дифференцируема, проверить следующие равенства:
;
на дом .
4. Найти величину и направление градиента функции в точке
на дом .
Решить задачи [Л1, с.505]:
9.64, 9.66 на дом 9.68.
5. Найти точки локального экстремума функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума
Решить задачи [Л1, с.509]:
9.88 на дом 9.76, 9.84.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Используя метод множителей Лагранжа найти условный экстремум функции при заданных дополнительных условиях
при условии ;
на дом при условии .
Решить задачи [Л1, с.510]:
9.93, 9.98 на дом 9.99, 9.100.
3. Вычислить двойные интегралы по заданной области
а)
б) ;
на дом , -треугольник с вершинами (1,1), (4,1), (4,4).
Решить задачи [Л1, с.643, 644]:
11.159 на дом 11.160.
4. С помощью двойного интеграла найти площадь, ограниченную следующими кривыми:
; на дом .
Занятие 3
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи на применения метода наименьших квадратов
[Л1, с.511- 515]:
9.102, 9.104, 9.110 на дом 9.103, 9.105, 9.111
3. Решить задачи на применение функций нескольких переменных в экономических задачах
[Л1, с.518, 519]:
9.116, 9.118, 9.120, 9.122, 9.124, 9.125
на дом 9.117, 9.119, 9.121, 9.123
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с.357]:
7.102, 7.103 на дом 7.104.
3. Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
а) ; б) на дом .
Решить задачи [Л1, с.690]:
12.45, 12.48, 12.58 на дом12.46, 12.56.
4. Решить задачи [Л1, с.693]:
12.61, 12.66, 12.70, 12.71 на дом12.62, 12.67, 12.72.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка
а) ; б) на дом .
Решить задачи [Л1, с.698]:
12.76, 12, 78, 12.80 на дом 12.79, 12.87.
3. Решить задачи [Л1, с.701]:
12.90, 12.92, 12.94, 12.98 на дом 12.91, 12.93, 12.99
Занятие 3
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка
а) ; б) ; в) ;
Решить задачи [Л1, с.707, 716]:
12.106, 12.109 на дом 12.107, 12.111, 12.166.
Занятие 4
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи на применение дифференциальных уравнений в экономике [Л1, с.710 - 712]:
12.122, 12.124, 12.126, 12.129, 12.130
на дом 12.123, 12.125, 12.127.
ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ОСНОВНОМУ КУРСУ
1. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Высшее образование, 2008.
2. Учебно-методическое пособие по математике. Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.
3. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум/.– СПб.: Питер, 2003.
4. Сборник задач по математике. /А.Н.Данчул (отв.ред) / М.: Изд-во РАГС, 2005.
5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. М.:ИНФРА-М, 2003.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Выполняются два контрольных задания по 6 задач в каждом. По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной на следующей странице, определяются номера варианты входящих в задание задач. Образец оформления титульного листа задания приведен в Приложении.
Сроки сдачи заданий:
· задание 1 – 10 неделя (до 8 апреля);
· задание 2 – 16 неделя (до 15 мая).
Сроки зачета заданий (с учетом исправления ошибок):
· задание 1 – 11 неделя (до 15 апреля);
· задание 2 – 17 неделя (до 22 мая).
Таблица вариантов
| Задача | ||||||
| № варианта задания | Номера вариантов задач | |||||
| 1. | ||||||
| 2. | ||||||
| 3. | ||||||
| 4. | ||||||
| 5. | ||||||
| 6. | ||||||
| 7. | ||||||
| 8. | ||||||
| 9. | ||||||
| 10. | ||||||
| 11. | ||||||
| 12. | ||||||
| 13. | ||||||
| 14. | ||||||
| 15. | ||||||
| 16. | ||||||
| 17. | ||||||
| 18. | ||||||
| 19. | ||||||
| 20. | ||||||
| 21. | ||||||
| 22. | ||||||
| 23. | ||||||
| 24. | ||||||
| 25. | ||||||
| 26. | ||||||
| 27. | ||||||
| 28. | ||||||
| 29. | ||||||
| 30. | ||||||
| 31. | ||||||
| 32. |
Контрольное задание №1
Задача 1.Отображение f: X Y задается законом, представленным ниже. X=Y= . Охарактеризовать отображение (всюду определенность, функциональность, отображение «на», взаимная однозначность). Построить график отображения.
| Вариант 1. | Вариант 6. |
| Вариант 2. | Вариант 7. |
| Вариант 3. | Вариант 8. |
| Вариант 4. | Вариант 9. |
| Вариант 5. | Вариант 10. |
Задача 2. Вычислить пределы функций
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 3. Найти первую и вторую производные функций
| Вариант 1. | Вариант 6. |
| Вариант 2. | Вариант 7. |
| Вариант 3. | Вариант 8. |
| Вариант 4. | Вариант 9. |
| Вариант 5. | Вариант 10. |
Задача 4. Исследовать функцию и построить график.
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 5. Найти неопределенный интеграл.
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
| Вариант 4 | Вариант 5 | Вариант 6 |
| Вариант 7 | Вариант 8 | Вариант 9 |
| Вариант 10 |
Контрольное задание №2
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 2. Разложить функции в ряд Маклорена и найти радиус сходимости ряда
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 3. Используя метод множителей Лагранжа найти условный экстремум функции при заданных дополнительных условиях
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 4. Вычислить двойные интегралы по заданной области
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
Задача 6. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
| Вариант 1 | Вариант 6 |
| Вариант 2 | Вариант 7 |
| Вариант 3 | Вариант 8 |
| Вариант 4 | Вариант 9 |
| Вариант 5 | Вариант 10 |
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ОСНОВНОМУ КУРСУ
1. Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции. Сложная и взаимно обратные функции.
2. Основные свойства функций. Примеры функций, используемых в экономике.
3. Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательностей.
4. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.
5. Предел функции в бесконечности и в точке.
6. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
7. Производная функции и дифференциал.
8. Производные и дифференциалы высших порядков.
9. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (только для направления «Экономика»)
10. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.
11. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
12. Правило Лопиталя.
13. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.
15. Нахождение асимптот функции.
16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.
17. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
18. Свойства неопределенного интеграла.
19. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.
20. Интегрирование рациональных дробей.
21. Интегрирование иррациональных выражений.
22. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
23. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
24. Формула Ньютона-Лейбница.
25. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Признаки сходимости несобственных интегралов.
26. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
27. Геометрические приложения определенного интеграла.
28. Применение определенного интеграла в экономических задачах
(только для направления «Экономика»).
29. Понятие числового ряда. Основные свойства рядов.
30. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
31. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда.
32. Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов.
33. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда.
34. Ряды Тейлора и Маклорена.
35. Признаки сравнения для исследования сходимости числовых рядов с положительными членами.
36. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность функции.
37. Частные производные функции первого порядка и полный дифференциал.
38. Производная по направлению, градиент функции.
39. Экстремумы функции многих переменных, необходимое и достаточное условие экстремума.
40. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа.
41. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.
42. Геометрическая интерпретация двойного интеграла.
43. Использование функций нескольких переменных в экономических приложениях (только для направления «Экономика»).
44. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Краевая задача и задача Коши.
45. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения.
46. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
47. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
48. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
49. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
50. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
51. Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
52. Применение дифференциальных уравнений в экономике
(только для направления «Экономика»).