Абсолютные показатели вариации

Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией. Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Задача изучения вариации признаков состоит в том, чтобы:

1) определить меру вариации, т. е. количественно измерить (рассчитать показатель вариации);

2) выяснить причины, которые вызвали вариацию признаков. Разложить общий объем вариации по источникам.

Измерение вариации имеет как практическое, так и теоретическое значение: при ее помощи характеризуется однородность, планомерность многих процессов (если в работе предприятия большая вариация, то это ведет к неполному использованию производственных мощностей, к браку, срыву работы смежников, так называемой “штурмовщине”). Очень важны показатели вариации при характеристике выполнения договорных обязательств по отдельным предприятиям.

Для измерения размера вариации в статистике используется система абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.Самым простым является размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака (R = x_max – x_min). Основным недостатком этого показателя является то, что он определяется двумя крайними значениями, в то время как вариация признака складывается из всех его значений. Часто размах вариации имеет важное смысловое значение. Им определяются пределы, в которых могут колебаться размеры тех или иных параметров деталей при контроле качества продукции, при анализе устойчивости режима производственного процесса.

На заре статистической науки было предложено брать в качестве меры вариации среднее абсолютное значение отклонений от средней величины значений признака, не принимая во внимание их знаки. Такая мера вариации получила название среднего линейного отклонения d:

. (5.1)

Для вариационного ряда:

. (5.2)

Среднее линейное отклонение представляет средние показатели, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их среднего размера.

Но нельзя построить меру вариации, игнорируя основное свойство отклонений как величин, принимающих и положительные и отрицательные значения. Отсюда основной мерой вариации является дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой

(5.3)

или взвешенной

. (5.4)

Среднее квадратическое отклонение – показатель степени однородности изучаемой совокупности. Поэтому он может быть использован для оценки надежности средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

; (5.5)

для вариационного ряда:

. (5.6)

Среднее квадратическое отклонение σ выражается в тех же единицах измерения, что и исходные значения x_i. Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии:

1. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

. (5.7)

2. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз:

.(5.8)

3. Дисперсия от средней всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой другой величины, на квадрат разности средней и условно взятой величины

. (5.9)

При расчете дисперсии используются и другие свойства. Каждое свойство может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Используя эти свойства и применяя способ моментов, можно достаточно быстро исчислить дисперсию. Этим способом удобно пользоваться, когда значения признака заданы в виде рядов распределения с равными интервалами:

, (5.10)

где h – величина интервала;

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой.

В случае, когда А приравнивается к нулю, следовательно не вычисляются отклонения, формула принимает такой вид:

(5.11)

или

. (5.12)

В статистике используют условные моменты m₁, m₂, m₃ и центральные моменты М₂, М₃, необходимые для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Величину m₁ называют моментом первого порядка:

. (5.13)

Величину m₂ называют моментом второго порядка:

. (5.14)

Величину m₃ называют моментом третьего порядка:

. (5.15)

Используются центральные моменты М₂, М₃:

; (5.16)

. (5.17)

Учитывая это, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения можно записать так:

; (5.18)

. (5.19)

Пример. По данным о времени горения электроламп, приведенным в табл. 4.1, рассчитать дисперсию по способу моментов.

Решение. По формуле (5.10) рассчитаем дисперсию

Исчислим дисперсию по формуле (5.18) через условные моменты для приведенного примера:

Альтернативными признаками называются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Наличие признака обозначим единицей, отсутствие нулем. Долю вариантов, обладающих данным признаком обозначим p, а не обладающих им – q. Так как p + q = 1, то дисперсия альтернативного признака ,

,

где n – число наблюдений;

m – число единиц совокупности, обладающие данным признаком [1, 3–7].