Абсолютные показатели вариации

Простейшим показателем вариации является размах вариации R – разность между наибольшим и наименьшим значениями признака х:

(1.9.1)

Размах вариации оценивает только отклонения крайних значений признака.

Пример 1.9.1. Вычислим размах товарооборота по данным табл. 1.9.1.

Таблица 1.9.1

Распределение магазинов по объему

Товарооборота

Объем товарооборота - , млн. руб.	Число магазинов -

Так как наибольшее и наименьшее значения товарооборота равны соответственно 125 и 95 млн. руб., то размах вариации R составляет 30 млн. руб.(125-95=30).

Следующим показателем вариации является среднее линейное отклонение - арифметическое среднее значение абсолютных величин разностей значений признака и его арифметического среднего значения.

Если значения признака х несгруппированы, то среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

. (1.9.2)

Если значения признака х сгруппированы и представлены в виде дискретного ряда распределения, то среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

. (1.9.3)

Среднее линейное отклонение , вычисленное по формуле (1.9.3), называется средним линейным отклонением дискретного ряда распределения.

Заметим, что разности берутся в формулах (1.9.2) и (1.9.3) по абсолютной величине потому, что по свойству 5 арифметического среднего значения признака (стр. 62)

.

Пример 1.9.2. Вычислим среднее линейное отклонение товарооборотов магазинов по данным табл. 1.9.1. Составим расчетную табл. 1.9.2.

Таблица 1.9.2

Расчетные показатели

Применяя формулы (1.8.3), (1.9.3) и суммы в итоговой строке табл. 1.9.2, получим:

млн. руб., млн. руб.

Таким образом, товарообороты магазинов отклоняются от среднего товарооборота в среднем на 5,6 млн. руб.

Более точно характеризует вариацию показатель, называемый дисперсией. Если значения признака х несгруппированы или сгруппированы и представлены дискретным рядом распределения, то дисперсия признака х вычисляется соответственно по формулам:

(1.9.4)

и

. (1.9.5)

Дисперсия, вычисленная по формуле (1.9.5) называется дисперсией дискретного ряда распределения.

Арифметический квадратный корень из дисперсии является квадратическим средним значением квадратов отклонений значений признака от его арифметического среднего значения. Поэтому показатель называется среднеквадратическим отклонением.

Пример 1.9.3. Вычислим дисперсию и среднеквадратическое отклонение товарооборота магазинов по данным табл. 1.9.1.

Среднее значение дискретного ряда распределения, представленного в табл. 1.9.1, равно 105 млн. руб. (пример 1.9.2).

Для вычисления дисперсии составим расчетную табл. 1.9.3.

Таблица 1.9.3

Расчетные показатели

		–

Применяя формулу (1.9.5) и суммы в итоговой строке табл. 1.9.3, получим:

.

Извлекая квадратный корень из числа 64, найдем среднеквадратическое отклонение, равное 8 млн. руб.

Таким образом, товарообороты магазинов отклоняются от среднего товарооборота, равного 105 млн. руб., в среднем на 8 млн. руб.

Если значения признака х сгруппированы и представлены в виде интервального ряда распределения, то показателями вариации признака х являются показатели вариации соответствующего дискретного ряда распределения.

Заметим, что рассмотренные показатели вариации являются абсолютными показателями.

Среднее значение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретного ряда распределения легко вычисляются с помощью Excel.

Пример 1.9.4. Применяя Excel, вычислим дисперсию и среднеквадратическое отклонение товарооборота магазинов по данным табл. 1.9.4 (рис. 1.9.1).

Таблица 1.9.4