Модель с фиксированным размером заказа и переменными интервалами времени между заказами

В данной логистической системе осуществляется заказ фиксированного количества продукции в разные моменты времени. Заказ на продукцию подается в точке заказа, определяемой как сумма среднего спроса в течение времени доставки заказа и резервного запаса. Нужно найти такое значение резервного запаса, при котором стоимость логистической системы минимальна.

Стоимость логистической системы складывается из стоимости доставки заказа, стоимости хранения запаса обычного размера, стоимости хранения резервного запаса и штрафа за дефицит.

С = С_Д + С_Х + С₂R + C₄S (14)

Задача решается в два этапа.

На первом этапе определяется фиксированный размер заказа, в качестве которого выбирается экономический размер заказа, рассчитываемый по формуле (1). Для данного размера по формулам (2) и (4) определяется число заказов, которые необходимо сделать, и точка заказа, не учитывающая колебаний спроса за время доставки.

Стоимость доставки , стоимость хранения стандартного запаса

Тогда формула общей стоимости запишется как

(15)

На втором этапе определяется оптимальное значение резервного запаса R^*, при котором значение общей стоимости минимально. Поскольку два первых слагаемых в формуле (15) фиксированы, данная задача сводится к определению значения R^*, при котором достигается минимум суммы двух последних слагаемых.

Среднее значение спроса в течение времени доставки заказа равняется . Если спрос в течение времени доставки не превышает своего среднего значения, на основании которого рассчитан стандартный размер запаса q^*, то дефицита нет. Дефицит продукции появляется только в том случае, когда спрос превышает среднее значение .

На основании построенного ряда распределения спроса на достаточно большом временном промежутке определяют размер резервного запаса, необходимый для удовлетворения текущего спроса, и среднее значение (математическое ожидание) дефицита, соответствующего данному значению резервного запаса. Математическое ожидание дефицита считается как сумма произведений значений дефицита для различных значений спроса на вероятность появления этих значений спроса. Для каждого из найденных значений подсчитывают стоимости хранения резервного запаса и штраф за дефицит сначала на одном интервале времени, а затем в течение всего периода управления запасами Т. Выбирают значение резервного запаса, соответствующее минимальному из полученных значений стоимости. Вычисления удобно оформлять в виде таблиц.

Изменения спроса могут быть также заданы с помощью известных законов распределения, например нормального, показательного, Пуассона и других. В этом случае для выполнения описанных выше вычислений необходимо использовать статистические таблицы соответствующих распределений.

В формулах (14) и (15) под термином S следует понимать математическое ожидание дефицита, для простоты обозначенное одной буквой.

Задача 4.

Магазин, торгующий бытовой техникой, осуществляет закупку одного из видов товара у производителя по цене 250 у.е. Средний объем продаж за год составляет 600 ед. товара данного вида. Год содержит 300 рабочих дней. Доставка каждого заказа оценивается в 50 у.е., а среднегодовая стоимость хранения единицы продукции данного вида составляет 15% от его закупочной цены. Среднее время доставки одного заказа равняется 3 дням. На основе статистических исследований по последним 50 интервалам между заказами получены следующие значения спроса в течение времени доставки заказа (табл. 1).

Таблица 1

Спрос на продукцию в течение времени доставки заказа
Число интервалов управления запасами

При отсутствии требуемого товара на складе убытки магазина, включая потерю прибыли от невыполнения заказов покупателей и частичной утраты их доверия, оцениваются в среднем в 60 у.е. за единицу продукции.

Определить оптимальный размер и точку заказа, а также оптимальный размер резервного запаса, при которых суммарная стоимость данной логистической системы минимальна.

Решение.

Выпишем исходные данные.

Т = 300 (дн.); D = 600 (ед.); С₁ = 50 (у.е.); С₃ = 250 (у.е.); С₂Т= 250 х 0,15 = 37,5 (у.е.); С₄ = 60 (у.е.); t_Д = 3 (дн.).

Этап 1.

По формуле (14) найдем стоимость логистической системы:

С = С_Д + С_Х + С₂R + C₄S.

Таким образом, в качестве фиксированного размера заказа выбирается значение равное 40.

Число интервалов между заказами составит .

Этап 2.

Определим оптимальный размер резервного запаса, при котором достигается минимум суммы двух последних слагаемых в формуле (15).

Среднее значение спроса в течение времени доставки заказа:

.

По исходным данным построим ряд распределения спроса. Для этого для каждого спроса разделим число интервалов доставки, в которых спрос принимает данное значение, на общее число проанализированных интервалов. Например, спрос, равный 6, возникает в 6 интервалах из 50, следовательно, вероятность появления этого спроса равна Расчеты запишем в таблицу 2.

Таблица 2

Спрос на продукцию в течение времени доставки заказа
Число интервалов	(1:50)
Вероятность спроса	0,02	0,04	0,12	0,16	0,20	0,16	0,12	0,08	0,06	0,04

Нужно проанализировать значения спроса, большие 6, так как спрос в течение времени доставки заказа меньше 6, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса подсчитаны в таблице 3.

Таблица 3

Спрос в течение tД	Вероятность спроса	Резервный запас, необходимый для удовлетворения спроса
	0,12
	0,08
	0,06
	0,04

Для определения оптимального размера резервного запаса используем так называемый метод «проб и ошибок» (табл. 4).

Таблица 4

Резервный запас R	Удовлетворенный спрос	Математическое ожидание S	Стоимость (у.е.)
На одном интервале	За период Т	Дефицита С4ТS	Резервного запаса С2R	Общая С2R+C4S

С уменьшением резервного запаса снижается стоимость хранения запасов и повышается штраф за дефицит. Минимальная стоимость, равная 111 у.е., соответствует значению 2 для резервного запаса.

R^* = 2,

S^* = 0,6.

Точка заказа q₁ = 6+2 = 8.

Подставив в формулу (15) значения q^*, S^*, R^*, получим значение минимальной общей стоимости данной логистической системы:

Таким образом, для получения минимальной стоимости в размере 1611 у.е. администрация магазина должна периодически подавать заказ размером 40 единиц, когда уровень запасов исчерпывается до 8 единиц.

В данной модели в качестве случайно меняющейся величины можно было бы выбрать не спрос, а интервал доставки. В этом случае в качестве исходных данных необходимо использовать различные значения периодов доставки, полученные в результате статистических исследований на достаточно большом временном интервале. На основании этих данных подсчитывается среднее значение времени доставки и определяется спрос в течение каждого временного промежутка. Далее проводятся расчеты, аналогичные приведенным выше.

Задача 5.

Пусть в задаче 4 не задано среднее время доставки и вместо информации об изменениях спроса приведены статистические данные о размерах 50 интервалов доставки заказов (табл. 5).

Таблица 5

Размер интервала доставки заказа (дн.)
Число интервалов

Необходимо определить оптимальный размер резервного запаса, оптимальный размер и точку заказа, при которых суммарная стоимость логистической системы минимальна.

Решение.

Исходные данные:

Т = 300 (дн.); D = 600 (ед.); С₁ = 50 (у.е.); С₃ = 250 (у.е.); С₂Т = 250 0,15 = 37,5 (у.е.); С₄ = 60 (у.е.).

Этап 1.

По формуле (14) стоимость логистической системы составляет:

С = С_Д + С_Х + С₂ТR + C₄TS

Число интервалов между заказами составит .

Этап 2.

Определим оптимальный размер резервного запаса, при котором достигается минимум суммы двух последних слагаемых в формуле (15).

Построим ряд распределения времени доставки заказа, разделив число интервалов с данным временем на общее число интервалов (табл. 6).

Таблица 6

Время доставки заказа (дн.)
Число интервалов
Вероятность спроса	0,04	0,12	0,12	0,28	0,18	0,12	0,08	0,06

Определим среднее время доставки заказа t_Д. Оно равняется математическому ожиданию времени доставки:

t_Д = 1 0,04 + 2 0,12 + 3 0,12 + 4 0,28 + 5 0,18 + 6 0,12 + 7 0,08 + 8 0,06 = 4,42.

Для того чтобы проанализировать большее число вариантов, в качестве времени доставки рассмотрим интервал, равный 3 дням.

Ежедневный спрос составляет: .

Среднее значение спроса для среднего времени доставки заказа:

По ряду распределения времени доставки построим ряд распределения спроса, умножив число дней на ежедневный спрос. Расчеты запишем в табл. 7.

Нужно проанализировать значения спроса, большие 8, так как если спрос в течение доставки заказа меньше 8, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса подсчитаны в табл. 8.

Таблица 7

Время доставки заказа (дн.)
Спрос в течение времени доставки
Вероятность времени доставки	0,04	0,12	0,12	0,28	0,18	0,12	0,08	0,06

Нужно проанализировать значения спроса, большие 8, так как если спрос в течение доставки заказа меньше 8, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса подсчитаны в табл. 8.

Таблица 8

Спрос в течение tД	Вероятность спроса	Резервный запас, необходимый для удовлетворения спроса
	0,28
	0,18
	0,12
	0,08
	0,06

Определим оптимальный размер резервного запаса.

Таблица 9

Резервный запас R	Удовлетворенный спрос	Математическое ожидание S	Стоимость (у.е.)
На одном интервале	За период Т	Дефицита С4S	Резервного запаса С2R	Общая С2R+C4S

В данном случае минимальная стоимость, равная 300 у.е., соответствует максимально возможному значению 8 для резервного запаса.

R^* = 10,

S^* = 0.

Точка заказа q = 8+10 = 18.

Новый заказ в размере 40 единиц делается, когда размер резервного запаса составляет 18 единиц. Дефицит не планируется.

Такие результаты характерны для производственной системы, в которой отсутствие требуемых материальных единиц на складе может привести к остановке производственного процесса, то есть штраф за дефицит является, как и в рассмотренной выше задаче, достаточно большим.

Подставив в формулу (15) значения q^*, S^*, R^*, получим значение минимальной общей стоимости данной логистической системы: