Модель. Моделирование. Изоморфизм. Гомоморфизм

По определению ряда специалистов, математичес­кая модель реального процесса есть некоторый ма­тематический объект, поставленный в соответствие данному процессу и представляющий собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соот­ветствующей системы, исходной информацией и начальными условиями.

Сущность моделирования заключается в том, что устанавливается отношение эквивалентности между двумя системами, каждая из которых может быть или реаль­но существующей, или абстрактной. Если одна из этих систем оказывается проще для исследования, чем вторая, то о свойствах второй системы можно судить, наблюдая поведение первой. В этом случае, использо­ванная для исследования система будет моделью пер­вой.

Степень соответствия (подобия) модели и моделируемой системы могут быть различной. Различают два уровня соответствия: изоморфизм и гомоморфизм. Если элементы, связи, преобразования двух или более систем находятся во взаимно однозначном соответст­вии, то эти - системы изоморфны. При изоморфизме каждая из систем может служить моделью другой, поскольку они эквивалентны относительно рассматриваемых элементов, связей и преобразований. При гомоморфизме соответствие направлено в одну сторону. Причем каждому элементу, каждой связи и каждому преобразо­ванию в первой системе соответствуют определенней элемент, определённая связь и определённое преобразование во второй системе (но не наоборот). Вторая система является гомоморфным отображением первой может рассматриваться как ее упрощенная модель. Нескольким элементам, связям, преобразованиям первой системы могут соответствовать один элемент, одна связь, одно преобразование во второйсистеме. Следовательно, вторая система может «не различать» всех особенностей первой системы.

Таким образом, если между моделью и реальной системой наблюдается полное поэлементное соответст­вие, то модель называется изоморфной. Модели, от­дельные части которых соответствуют лишь крупным частям реальной системы, называются, гомоморфными.

Под моделированием объекта, системыпонимают построение достаточно адекватного (по исследуемым свойствам) этому объекту аналога-модели с последующим исследованием на этой модели соответствующих показателей объекта, системы.

Математическое моделирование системы в конеч­ном счёте преследует цель определения оптимального поведения этой системы и состоит в подборе матема­тических схем, адекватным процессам, происходящим в действительности. Это требование, естественно, пред­полагает наличие теоретических и эмпирических представлений о закономерностях каждоготакого про­цесса, его структуре, об условиях и факторах, влияющих на ее формирование.

Многие задачи требуют исследования процесса функционирования сложной системы с учётом взаимодейст­вия между элементами системы. В этих случаях прибе­гают к использованию метода моделирования работы системы на универсальных ЭВМ. Для реализации тако­го метода необходимо для исследуемого процесса построить соответствующий моделирующий алгоритм, имитирующий при помощи операций вычислительной машины поведение элементов сложной системы и взаимодействие между ними с учетом возмущающих фак­торов.

В число основных факторов, которые обусловли­вают целесообразность применения моделирования при оценке качества функционирования сложных систем, обычно включают:

1. Метод построения моделей сложных систем позволяет предсказывать поведение реальных систем путем исследования одних моделей. Такую возможность дает:

а) получение обширной информации о различ­ных сторонах работы системы;

б) изучение процесса функционирования системы в целом с учётом разнооб­разных взаимодействий элементов сложной системы и совместного действия различных факторов.

2. С помощью математической модели можно ис­следовать влияние изменений основных исходных па­раметров работы элементов системы (в том числе и структурных) на показатели эффективности системы в целом. Кроме того, зная пределы изменения парамет­ров, характеризующих систему, можно, используя мо­дель для получения оценки эффективности и эконо­мичности системы, найти оптимальный вариант ее.

3. Моделирование работы системы может произво­диться для проверки правильности предлагаемых ана­литических методов исследования и уточнения получен­ных ориентировочных результатов при более широких, чем для других методов, предположениях о свойствах модели.

4. Моделирование даёт возможность исследовать поведение сложной системы под воздействием внешних и внутренних возмущений, т.е. исследовать устойчи­вость функционирования системы и её помехозащищён­ность под действием возмущающих факторов.

Классификация моделей

В настоящее время классифицируют существующие модели сложных систем следующим образом:

По характеру связи с реальным объектом, который данная модель имитирует, модели подразделяются на модели геометрического подобия (изобразительные модели), модели-аналоги и символические модели.

Изобразительная модель отражает внешние ха­рактеристики системы, т.е. представляет отображение свойств оригинала, которые обычно подвергаются метризации с определённым масштабом. Масштаб выби­рается, исходя из экономии и удобства пользования. Изобразительные модели приспособлены для отображения статического или динамического явления в определён­ный момент времени. Однако такие модели неприменимы для отображения динамики явлений. В геометрически подобной модели отображаются лишь те свойства оригинала, которые существенны для задан, решаемых с помощью данной модели.

Модели-аналоги используют для свойств одного явления для отображения свойств другого явления. Применение моделей-аналогов дает возможность про­верять изменение различных параметров. Модели-аналоги имеют ряд преимуществ во сравнению с изобразительными моделями, в частности, они эффек­тивно применяются для отображения динамических процессов или систем и обладают большой универсальностью.

Символические модели отображают свойства изучаемой системы с помощью символов, используя для этого математический аппарат. Символы математи­ческого и логического характера отображают в моде­ли элементы системы и взаимосвязь между ними. В настоящее время символические модели применяются повсеместно, в том числе для моделирования работы автоматических и автоматизированных систем.

По наличию случайных элементов модели подразделяются на вероятностные и детерминированные. В слу­чае, если функционирование системы лишено случайных возмущений или ими можно пренебречь, либо в случае замены случайных элементов системы детерминированными параметрами (например, математическим ожиданием), соответствующие модели также не содержат случайных элементов и являются детерминированными. Следует, однако, учесть, что для подавляющей части реальных больших систем достаточная адекватная детерминиро­ванная математическая модель не может быть построена. В этом случае переходят к вероятностным моделям, которые в настоящее время занимают цент­ральное место.

По отображению функционирования сложной системы во времени модели подразделяются на одномоментные (или статические) и динамические. Одномоментные модели можно использовать в тех случаях, когда моде­лируемая система, для удовлетворения требований которой необходимо получить какое-то решение в определённый момент времени. Наибольшее отображение такого рода ситуации находят в системах управления запасами, в которых одномоментные модели применяются повсеместно (определение однократного времени заказа или объёма заказа на пополнение запасов). Динамические модели отображают процесс функционирования системы за ряд последовательных периодов. Примерами такого рода моделей являются получившие в последние годы широкое распространение сетевые мо­дели, ряд динамических моделей управления запасами и др.

По виду имитации моделируемого объекта или системы модели подразделяются на аналитические и имитационные. Аналитические модели связаны с одно­кратным расчётом на основе формульных или логических зависимостей. Имитационные же модели основаны на многократной имитации (воспроизводстве операций) мо­делируемой системы с использованием случайных эле­ментов и с последующей обработкой полученных ста­тистических результатов. Последнее даёт возможность оценить показатели качества системы как средние значения по данным большого количества реализаций (имитации) работы системы.