Гомоморфизм

Пусть гомоморфизм - student2.ru - группа и гомоморфизм - student2.ru - другая группа или полугруппа. Пусть каждому элементу гомоморфизм - student2.ru из гомоморфизм - student2.ru сопоставлен некоторый элемент из гомоморфизм - student2.ru , т. е. задано отображение гомоморфизм - student2.ru в гомоморфизм - student2.ru .

Определение. Отображение гомоморфизм - student2.ru называется гомоморфным (или гомоморфизмом гомоморфизм - student2.ru в гомоморфизм - student2.ru ), если произведению любых элементов из гомоморфизм - student2.ru соответствует произведение их образов, т. е. гомоморфизм - student2.ru .

При этом не предполагается, что отображение является взаимно однозначным, т. е. различным элементам из гомоморфизм - student2.ru может соответствовать один и тот же элемент из гомоморфизм - student2.ru , а некоторые элементы из гомоморфизм - student2.ru могут не являться образами каких-либо элементов из гомоморфизм - student2.ru .

Лемма 1. Гомоморфизмом гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru является группа. Образом единицы группы гомоморфизм - student2.ru является единица образа и взаимно обратным элементам группы гомоморфизм - student2.ru соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. Так как гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru принадлежат гомоморфизм - student2.ru , то из равенства гомоморфизм - student2.ru следует, что гомоморфизм - student2.ru . Ассоциативность следует из ассоциативности в гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru : гомоморфизм - student2.ru . Покажем, что есть левая единица для гомоморфизм - student2.ru : гомоморфизм - student2.ru , т. е. гомоморфизм - student2.ru - левая единица в гомоморфизм - student2.ru . Из равенства гомоморфизм - student2.ru следует, что гомоморфизм - student2.ru является левым обратным элементом для элемента гомоморфизм - student2.ru в гомоморфизм - student2.ru . Аналогично доказывается существование правого обратного элемента и правой единицы. Таким образом, гомоморфизм - student2.ru является группой.

Замечание. Если гомоморфизм - student2.ru - полугруппа, а не группа, то гомоморфизм - student2.ru может не быть единицей для всей гомоморфизм - student2.ru . Однако гомоморфизм - student2.ru является единицей для гомоморфизм - student2.ru ,. Или для любой группы, содержащейся в гомоморфизм - student2.ru и содержащей гомоморфизм - student2.ru .

Пусть гомоморфизм - student2.ru - гомоморфное отображение группы гомоморфизм - student2.ru на группу гомоморфизм - student2.ru .

Определение. Множество всех элементов из гомоморфизм - student2.ru , имеющих один и тот же образ гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru , называется полным прообразом элемента гомоморфизм - student2.ru и обозначается гомоморфизм - student2.ru . Полный прообраз единицы группы гомоморфизм - student2.ru называется ядром гомоморфизма.

Лемма 2. Ядро гомоморфизма группы гомоморфизм - student2.ru на группу гомоморфизм - student2.ru является полной нормальной подгруппой группы гомоморфизм - student2.ru .

Доказательство. Пусть гомоморфизм - student2.ru - ядро гомоморфизма. Так как гомоморфизм - student2.ru является обратным элементом для гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru . Если гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru гомоморфизм - student2.ru и, следовательно, гомоморфизм - student2.ru . Если гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru , т. е. гомоморфизм - student2.ru . Если гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru гомоморфизм - student2.ru , поэтому гомоморфизм - student2.ru .

Лемма 3. В условиях леммы 2 полные прообразы элементов из гомоморфизм - student2.ru являются классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru принадлежат одному классу смежности по гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru при гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru . Если гомоморфизм - student2.ru , то гомоморфизм - student2.ru , поэтому гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru .

Теорема (первая теорема о гомоморфизмах). Гомоморфный образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру гомоморфизма

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие согласно лемме 3. Оно сохраняется при умножении: гомоморфизм - student2.ru .

Отображение группы гомоморфизм - student2.ru на факторгруппу гомоморфизм - student2.ru по нормальной подгруппе гомоморфизм - student2.ru , заключающееся в том, что каждому элементу группы гомоморфизм - student2.ru сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм и его ядро совпадает с гомоморфизм - student2.ru . Это следует из определения умножения классов смежности как элементов факторгруппы. Это гомоморфизм гомоморфизм - student2.ru на гомоморфизм - student2.ru называется естественным гомоморфизмом. Поэтому первая теорема о гомоморфизме утверждает, что любой гомоморфизм в основном ( с точностью до изоморфизма) не отличается от естественного гомоморфизма группы на ее факторгруппу по ядру гомоморфизма.

Пример. Пусть гомоморфизм - student2.ru - группа по умножению невырожденных квадратных матриц над полем гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru - полугруппа элементов поля гомоморфизм - student2.ru относительно умножения и гомоморфизм - student2.ru - отображение, ставящее в соответствие каждой матрице из гомоморфизм - student2.ru ее определитель. Это отображение является гомоморфизмом, т. к. определитель от произведения матриц равен произведению их определителей. Образ состоит из всех элементов поля гомоморфизм - student2.ru , кроме нуля. Любой элемент гомоморфизм - student2.ru из гомоморфизм - student2.ru есть определитель матрицы, отличающейся от единичной тем, что на главной диагонали вместо одной единицы стоит число гомоморфизм - student2.ru . Ядром отображения является группа матриц с определителем, равным единице, так что эта группа есть нормальная подгруппа группы невырожденных матриц. Классы смежности по ядру составляют матрицы, имеющие одинаковый определитель.

Лемма 4. Пусть гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru - подгруппы группы гомоморфизм - student2.ru , причем гомоморфизм - student2.ru - нормальная подгруппа. Тогда гомоморфизм - student2.ru - подгруппа группы гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru .

Доказательство. Пусть гомоморфизм - student2.ru , причем гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru . Тогда гомоморфизм - student2.ru гомоморфизм - student2.ru , причем гомоморфизм - student2.ru , т. к. гомоморфизм - student2.ru - нормальная подгруппа, и гомоморфизм - student2.ru . Поэтому гомоморфизм - student2.ru . Пусть гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru принадлежат гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru . Тогда гомоморфизм - student2.ru , где гомоморфизм - student2.ru в силу нормальности гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru , следовательно, гомоморфизм - student2.ru . Лемма доказана.

Теорема (вторая теорема о гомоморфизме). Пусть гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru - подгруппы группы гомоморфизм - student2.ru , причем гомоморфизм - student2.ru - нормальная подгруппа. Тогда факторгруппа гомоморфизм - student2.ru изоморфна факторгруппе гомоморфизм - student2.ru .

Доказательство. Рассмотрим какой-либо гомоморфизм гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru на группу гомоморфизм - student2.ru с ядром гомоморфизм - student2.ru , например, естественный гомоморфизм группы гомоморфизм - student2.ru на гомоморфизм - student2.ru . Образы элементов подгруппы гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru составят некоторую подгруппу гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru . Подгруппа гомоморфизм - student2.ru является гомоморфным образом подгруппы гомоморфизм - student2.ru при отображении гомоморфизм - student2.ru , совпадающим с гомоморфизм - student2.ru на гомоморфизм - student2.ru . Ядром отображения гомоморфизм - student2.ru является пересечение гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru с ядром гомоморфизм - student2.ru гомоморфизма гомоморфизм - student2.ru . Поэтому гомоморфизм - student2.ru изоморфна гомоморфизм - student2.ru . С другой стороны, если гомоморфизм - student2.ru и является образом элемента гомоморфизм - student2.ru , то полный прообраз гомоморфизм - student2.ru есть смежный класс гомоморфизм - student2.ru , и объединение всех этих прообразов есть подгруппа гомоморфизм - student2.ru группы гомоморфизм - student2.ru . Поэтому образ гомоморфизм - student2.ru при гомоморфизме гомоморфизм - student2.ru снова совпадает с гомоморфизм - student2.ru . Так как ядро гомоморфизм - student2.ru гомоморфизма гомоморфизм - student2.ru содержится в группе гомоморфизм - student2.ru , группа гомоморфизм - student2.ru изоморфна гомоморфизм - student2.ru . Отсюда следует изоморфизм факторгрупп гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru . Теорема доказана.

Пусть гомоморфизм - student2.ru - нормальная подгруппа группы гомоморфизм - student2.ru , гомоморфизм - student2.ru - какая-либо промежуточная подгруппа, т. е. гомоморфизм - student2.ru . Тогда гомоморфизм - student2.ru есть нормальная подгруппа для гомоморфизм - student2.ru и имеет смысл факторгруппа гомоморфизм - student2.ru , которая является подгруппой группы гомоморфизм - student2.ru .

Теорема (третья теорема о гомоморфизме). Пусть гомоморфизм - student2.ru , где гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru - нормальные подгруппы в группе гомоморфизм - student2.ru . Тогда гомоморфизм - student2.ru есть нормальная подгруппа группы гомоморфизм - student2.ru и гомоморфизм - student2.ru изоморфна гомоморфизм - student2.ru .

Эту теорему примем без доказательства.

Наши рекомендации