Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
ГомоморфизмГОМОМОРФИЗМ– отображение множества элементов одной алгебраической системы в другую, сохраняющее все отношения и операции
Даны A=<M1; φ>, B=<M2;ψ> и соответствие G отображает M1® M2.
Соответствие G - гомоморфизм алгебры А в алгебру Весли
G (а φ b) = G(а) ψ G(b)
Над элементами а и b Î M1 выполняем операцию φ: a φ b = c
2) Результат операции с отображаем в множество M2: Г: с ®γ
3) Выполняет отображение элемента a в множество M2: Г: a ®α
4) Выполняет отображение элемента b в множество M2: Г: b ®β
5) Над элементами αиβ Î M2 выполняем операциюψ: αψ β = γ1
6) Если γ= γ1то соответсвие гомоморфно, нет в противном случае.
Гомоморфизм? – пример проверки
Дано: A=<Z ; “*”>, <Z; “*” > и отображение Г: n ® -n. Определить является ли данное соответствие гомоморфизмом
1) Над элементами а и b Î M1выполняем операцию φ: a φ b = c
т.е. a*b=c
2) Результат операции с отображаем в множество M2: Г: с ®γ
т.е. c® -c=-ab и γ=-ab
3) Выполняет отображение элемента a в множество M2: Г: a ®α
т.е. a® -a и α=-а
4) Выполняет отображение элемента b в множество M2: Г: b ®β
т.е. b® -b и β=-b
5) Над элементами αиβ Î M2 выполняем операцию ψ: αψ β = γ1
т.е. α * β = (-a)*(-b) = ab = γ1
6) Если γ= γ1то отображение гомоморфно,
Т.е. ab ≠-ab не гомоморфно
Данны A=<Z ; “*”>, <Z; “*” > и отображение Г: n ® -n. Определить является ли отображение всюду определенным, сюръективным, инъективным, функциональным?
A=<Z ; “*”>, <Z; “*” > Г: n ® -n, каждый элемент первой алгебры имеет свой образ – всюду определенное
А=<Z ; “*”>, <Z; “*” > Г: n ® -n, каждый элемент второй алгебры имеет свой прообраз – сюръективное
А=<Z ; “*”>, <Z; “*” > Г: n ® -n, каждый элемент первой алгебры имеет единственный образ – функциональное
А=<Z ; “*”>, <Z; “*” > Г: n ® -n, каждый элемент второй алгебры имеет единственный прообраз – инъективное
Типы морфизмов
Мономорфизм– это гомоморфное и инъективное соответствие
Эпиморфизм– это гомоморфное и сюръективное соответствие
Эндоморфизм – это гомоморфное соответствие и множество В=А
Биморфизм– это гомоморфное, биъективное соответствие
Изоморфизм - это гомоморфное и взаимооднозначное соответствие
Автоморфизм - это гомоморфное, взаимооднозначное соответствие и множество В=А
Изоморфизм
ИЗОМОРФИЗМ – это одно из основных понятий современной математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др.. Впоследствии оказалось принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.
Пусть даны два множества S и S/ , причем в первом S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во втором S/ –отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Множества S и S/ с указанными отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=Г1(x), x = Г2(x/), где xÎS, а x/ Î S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает наличие F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот.
Отображение Г1 - изоморфное отображение или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение
Г2 – изоморфизмом системы S/, на систему S.
Факт изоморфности систем S и S/ обозначается S@S /.
47.Логическое представление исследуемой системы. Простые и сложные высказывания. Логические операции. Таблица истинности и таблица Кэли. Конверсия, инверсия, контрапозиция. Необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие.???
Логические представления
Логические (формальные) представления исследуемой системы — это ее описание в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними.
Логические представления характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований над ними (операций, правил вывода и т.п.), которые являются правильными методами рассуждений — законами логики.
Предмет изучения
Способы (правила) формального логического представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований
Способы (методы) установления истинности или ложности высказываний.
Высказывание — повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Пример: «Дважды два четыре», «На улице жара».
Все научные знания, события повседневной жизни, ситуации в
экономике, управлении, политике формируются в виде
высказываний.
Простые высказывания рассматриваются в данном контексте как неделимое целое (аналогично элементу множества)
Сложные высказывания формулируются из простых с помощью логических связок (логических операций), заменяющие связки естественного языка в сложных предложениях.
Логическая операция - это функция вида f(x1,x2,…xn): Bn→B, где В множество состоящее из двух элементов В={0,1}.
Логическая операция – это функция зависящая от логических переменных (т.е. принимающих значение 0,1), которая так же может принимать только два значения 0 и 1.
В таблице истинностидля бинарных операций первые два столбца содержат все возможные наборы операндов, а последующие столбцы значение логических функций.
Конъюнкция (операция логического умножения, обозначается любым из символов А&В, А ÙВ, АВ ) соответствует связывающему слову «И», «НО», «А». Значение операции А&B=1если оба операнда равны 1. Пример: «Дискретная математика легкий, но объемный предмет»
Дизъюнкция (операция логического сложения обозначается АÚВ) соответствует связывающему слову «ИЛИ». Подразумевает истинность А или В или обоих высказываний. Значение АÚВ=1 если хотя бы один из операндов равен 1. Пример: «Петров любит футбол или формулу-1»
Отрицание (операция отрицания или дополнения, обозначается любым из символовù А, Ā) соответствует связывающему слову «не верно, что» или «не …». Значение Ā=1 если А=0 и наоборот.
Разделительное ИЛИ (обозначается ХОR,Å2)соответствует фразам «ИЛИ», «Либо … либо» в разделительном смысле. Значение А Å2В =1 если значение операндов различно. Например: «Студент Иванов сдаст экзамен по дискретной математике или не сдаст».
Эквивалентность (обозначается А~В) соответствует связкам «А эквивалентно В», «А равносильно В», «А тоже, что и В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В». Значение А~В=1, Если А=В. Например: «Деление числа k на 2 и 3 (А) необходимо и достаточно для деления k на 6 (В)».
«Любое число делится на 6 (А) тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и 3 (В)».
Условные высказывания типа «если А, то В», «А влечет В» соответствуют логической операции импликация. Обозначается следующим образом А®В. Пример: отец говорит сыну: «Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично» (A), то я куплю тебе машину (B)». При каких условиях отец говорит правду?
