Теории (без учета временной стоимости денег)

Для сравнения с известным традиционно используемым результатом модели планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке в рассматриваемом невырожденном случае, но для ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается, обратим внимание на следующее. При r=0 (соответственно и d=0) все атрибуты и параметры полученного оптимального решения соответствуют известным традиционным рекомендациям (см., например, формулы, представленные в начале этой главы). При этом для ситуации, когда временная стоимость денег учитывается (т.е. при r>0 и соответственно d>0), расхождение с такими традиционными рекомендациями модели планирования дефицита становятся очевидными.

В частности, оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов при учете временной стоимости денег оказывается (применительно к каждому i-товару) более предпочтительным для промежутков наличия дефицита. Это легко видеть из приведенной выше формулы, определяющей отношение γ_i^*/(1-γ_i^*). Соответственно изменятся и рекомендации для параметров S_i ^* и q_i ^* (см. также приведенные выше формулы).

А именно: полученные в этой работе формулы для q_i ^* и S_i ^* очевидным образом иллюстрируют следующий факт. При учете временной структуры процентных ставок (r > 0) оптимальный размер заказа для стратегии планирования дефицита должен быть меньшим, чем этого требует общепринятая формула для этого показателя (см. формулы начала этой главы) на основе традиционных рекомендаций. Кроме того, оптимальное значение максимально допускаемого дефицита, в свою очередь, должно быть большим, чем этого требует соответствующая общепринятая формула для такого показателя на основе указанных традиционных рекомендаций.

Полученные здесь результаты для стратегии планирования дефицита применительно к многономенклатурной модели управления запасами можно представить, кратко, в более удобном для расчетов виде следующим образом. Пусть

Ø - вектор годового потребления i-товаров;

Ø - вектор, компоненты g^*_i которого определяются формулами

g^*_i =(C_hi+d(C_Пi+P_Пi))/(C_hi+C_Bi+ d(C_Пi+P_Пi)), ;

Ø - вектор, компоненты С_Bgi которого определяются формулами

С_Bgi = C_Bi·g^*_i, ;

Ø - соответствующее скалярное произведение указанных векторов.

Тогда параметры оптимальной стратегии управления запасами для рассматриваемой модели можно определять по следующему алгоритму.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРИОД ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА при общих поставках – по формуле

.

ЭКОНОМИЧНЫЙ РАЗМЕР ЗАКАЗА (i-товара) при общих поставках – по формуле

.

МАКСИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ДЕФИЦИТА (i-товара) при общих поставках – по формуле

.

Для иллюстрации предложенного алгоритма нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели планирования дефицита (с учетом временной стоимости денег), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов) рассмотрим следующую условную ситуацию с тремя видами продуктов.

ПРИМЕР 9.2.Пусть параметры модели соответствуют использованному нами выше классическому примеру из книги [Дж. Букан, Э. Кенигсберг. Научное управление запасами. – М.: Наука, 1967]. Они представлены в следующей таблице.

Табл. 9.1.

Показатели, характеризующие запасы трех видов продукции

Продукт
Годовое потребление Di	D1 = 12000	D2 = 25000	D3 = 6000
Издержки хранения Сhi	Ch1 = 0,6	Ch2 = 0,4	Ch3 = 1,2
Стоимость ед. товара Спi	Cп1 = 3	Cп2 = 2	Cп3 = 6

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, как и ранее полагаем C_опi = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку составляют С₀ = 40 (у.е.), штрафные издержки дефицита C_Вi по i-товару - следующие:

С_В1 = 0,3; C_В2 = 0,2 и C_В3 = 0,6.

Также для определенности считаем, что Р_пi / C_пi = 0,5 (для всех видов продуктов) и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r =0,2 и соответственно d = 0,1(6).

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами с общими поставками как для модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для традиционного аналога модели (без учета таковой), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Подчеркнем, что в рамках рассматриваемого примера имеем:

· = (12000; 25000; 6000) , = (0,6; 0,4; 1,2) ;

· _п = (3; 2; 6), = (1,5; 1; 3), = (0,3; 0,2; 0,6);

· так что при учете временной стоимости денег компоненты вектора , будут следующими

= = =0,(81)

= = =0,(81)

= = =0,(81)

(подчеркнем, что, соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов, т.е. отношение γ_i /(1- γ_i) по каждому виду товара, задается при этой стратегии как

= ,

т.е. как 4,5:1);

· соответственно для вектора получаем

= (0,3×0,(81); 0,2×0,(81); 0,6×0,(81))=(0,2455; 0,1636; 0,4909).

Для нахождения оптимальной стратегии в данной ситуации с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего скалярного произведения :

=12000×0,2455+25000×0,1636+6000×0,4909= 9981,82.

Определив значение =9981,82 переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, оптимальное значение Т₀^* периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет

Т₀^* = =0,0895,

(т.е., приблизительно, 32 дня).

Соответственно, в указанном оптимальном случае с учетом временной стоимости денег при общих поставках этих товаров имеем (после округления):

· объемы i-товаров в заказе –

q₁^* = 1074, q₂^* = 2238, q₃^* = 537 ;

· максимально допустимый дефицит для i-товаров –

S₁^*=870, S₁^*=1813, S₁^*=435

· издержки хранения Х_i^* (годовые) по видам i-товаров –

Х₁^* = 11, Х₂^* = 15, Х₃^* = 11 (у.е.);

· накладные расходы на поставки за год составят 447 (у.е.);

· суммарные указанные годовые потери равны 484 (у.е.).

Теперь приведем параметры оптимальной стратегии управления запасами для случая традиционно используемого варианта рассматриваемой модели планирования дефицита, когда временная стоимость денег не учитывается. В указанном случае параметры оптимальной стратегии можно находить по тем же формулам, но с учетом дополнительно задаваемого ограничения d=0 (соответственно и ставка наращения равна нулю).

При этом получаем:

· компоненты вектора , будут следующими

= = 2/3

= = 2/3

= = 2/3

(другими словами, соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов, т.е. отношение γ₀ /(1- γ₀), будет определено уже как

= ,

т.е. как 2:1);

· соответственно для вектора имеем

= (0,3×2/3; 0,2×2/3; 0,6×2/3)=(0,2; 0,1(3); 0,4)

· поэтому скалярное произведение составит:

=12000×0,2+25000×0,1(3)+6000×0,4= 8133,(3).

Для соответствующего рекомендуемого значения Т₀⁰ общего периода повторного заказа имеем: Т₀⁰ = 0,099177 (или @ 36 дней). С учетом такой рекомендации при общих поставках этих товаров получаем (после округления):

· объемы i-товаров в заказе –

q₁⁰ = 1190, q₂⁰ = 2480, q₃⁰ = 595 ;

· максимально допустимый дефицит для i-товаров –

S₁^*= 793, S₁^*= 1653, S₁^*= 397;

· годовые издержки хранения (обозначим их через Х_i⁰) по видам товаров –

Х₁⁰ = 22, Х₂⁰ = 135 Х₃⁰ = 22 (у.е.);

· накладные расходы на общие поставки этих товаров за год составят 403 (у.е.);

· суммарные указанные годовые потери равны 582 (у.е.).

Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то традиционно рекомендуемое теорией значение периода времени между общими поставками в рамках рассматриваемого примера при планировании дефицита равняется Т₀⁰ = 0,099177 (@ 36 дней). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к другому оптимальному значению этого показателя, которое в нашем примере составляет Т₀^* = 0,089524 (@ 32 дня).

Как видим, отклонение для периода времени между общими поставками партий заказов соответствует ошибке порядка 12,5%. Понятно, что такая ошибка может отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим далее соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов соответствующей системы управления запасами в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:

1) при T =T₀^* = 0,089524 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2)при T = Т₀⁰ = 0,099177 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, использующей соответственно показатели T₀^* и q_i^*, для интенсивности доходов F_max (годовой) по анализируемой группе товаров в соответствии с формулой (*) имеем (с учетом также найденных выше оптимальных значений = 0,(81)):

F_max =122 – 0,447 – 0,089524×24,4×(0,(18))² – 0,089524×12,2×(0,(81))² –

– 0,089524×12,2×(0,(18))²×0,1(6)/2 = 120,70 (тыс. у.е./год).

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели Т₀⁰ и q_i⁰, для интенсивности доходов F⁰ (годовой) по анализируемой группе товаров в соответствии с формулой (*) имеем (с учетом также найденных для этого случая значений = 2/3):

F⁰ =122 – 0,403 – 0,099177×24,4×(1/3)² – 0,099177× 12,2 ×(2/3)² –

– 0,099177×183×(1/3)²×0,1(6)/2 = 120,6 (тыс. у.е./год).

Как видим, разница F_max – F⁰ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров имеет порядок 100 у.е. (за год). Надо еще учесть, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между общими поставками товаров соответственно уменьшаются как объемы хранимых товаров, так и объемы соответствующих страховых запасов по этим товарам; следовательно, и «замороженные» в них деньги. Поэтому суммарный резерв для возможного повышения эффективности работы соответствующей системы управления запасами за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным.

ПРИМЕР 9.3. Для сравнения приведем здесь расчеты применительно к ситуации, когда стоимости товаров являются намного более значительными (сохраняя пропорционально к стоимости единицы товара показатели соответствующих издержек и прибыли). Пусть анализируется оптимальная стратегия организации общих поставок трех видов товаров, максимизирующая чистый приведенный доход для соответствующих логистических операций с учетом допускаемого (планируемого) дефицита по каждому товару. Необходимые в рамках указанного анализа параметры представлены в табл. 9.2.

Табл. 9.2.

Показатели, характеризующие запасы трех видов продукции

Продукт
Годовое потребление Di	D1 = 10 000	D2 = 20 000	D3 = 5 000
Издержки хранения Сhi	Ch1 = 20	Ch2 = 10	Ch3 = 40
Стоимость ед. товара Спi	Cп1 = 100	Cп2 = 50	Cп3 = 200

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов, как и ранее полагаем C_опi = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку по-прежнему составляют С₀ = 40 (у.е.), издержки дефицита C_Вi по i-товару - следующие: С_В1 = 10; C_В2 = 5 и C_В3 = 20. Также для определенности считаем, что Р_пi / C_пi = 0,5 (для всех видов продуктов) и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r =0,2 и соответственно d = 0,1(6).

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модифицированной модели планирования дефицита при общих поставках этих товаров с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и для традиционной модели (без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. В рамках рассматриваемого примера имеем:

· = (10 000; 20 000; 5 000) , = (20; 10; 40) ;

· _п = (100; 50; 200), = (50; 25; 100), = (10; 5; 20);

· поэтому компоненты вектора (при учете временной стоимости денег), будут следующими

= = =0,(81)

= = =0,(81)

= = =0,(81)

(как видим, они сохранились такими же, как и в предыдущем примере 8.2, из-за того, что издержки дефицита и прибыль составляют такой же процент от стоимости товара, как и прежде, причем при том же значении дисконта);

· соответственно для вектора получаем

= (10×0,(81); 5×0,(81); 20×0,(81))=(8,(18); 4,(09); 16,(36));

· для скалярного произведения имеем

=10 000×8,(18)+20 000×4,(09)+5 000×16,(36) = 245 454,(54).

Находим оптимальное значение Т₀^* периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег в рассматриваемом случае:

Т₀^* = =0,0180534,

(т.е., приблизительно, одна неделя).

Соответственно, в указанном оптимальном случае (в рамках учета временной стоимости денег) при общих поставках этих товаров имеем (после округления):

· оптимальные размеры i-товаров в заказе при общей поставке –

q₁^* = 180, q₂^* = 361, q₃^* = 90 ;

· максимально допустимый дефицит для i-товаров (покрываемый при поставке) –

S₁^*= 147, S₁^*= 294, S₁^*= 74

· годовые издержки хранения Х_i^* по видам i-товаров ( в у.е.) –

Х₁^* = 60, Х₂^* = 61 Х₃^* = 60;

· накладные расходы на поставки за год составят 2 215 (у.е.);

· суммарные указанные годовые потери равны 2 396 (у.е.).

Теперь рассчитаем параметры оптимальной стратегии управления запасами для случая традиционно используемого варианта рассматриваемой модели планирования дефицита, когда временная стоимость денег не учитывается. Как уже отмечалось, в указанном случае параметры оптимальной стратегии можно находить по тем же формулам, но с учетом равенства d=0.

А именно, при этом получаем:

· компоненты вектора , будут следующими

= = 2/3

= = 2/3

= = 2/3

(как видим, соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов, т.е. отношение γ_i /(1- γ_i), снова будет определен в виде отношения

= ,

т.е. как 2:1);

· соответственно для вектора имеем

= (10×2/3; 5×2/3; 20×2/3)=(20/3; 10/3; 40/3)

· поэтому скалярное произведение составит:

=10 000×20/3+20 000×10/3+5 000×40/3 = 200 000

Для соответствующего рекомендуемого значения Т₀⁰ общего периода повторного заказа имеем: Т₀⁰ = 0,02. С учетом такой рекомендации при общих поставках этих товаров получаем (после округления):

· объемы i-товаров в заказе –

q₁⁰ = 200, q₂⁰ = 400, q₃⁰ = 100 ;

· максимально допустимый дефицит для i-товаров –

S₁^*= 133, S₁^*=267, S₁^*= 67

· годовые издержки хранения (обозначаем их снова через Х_i⁰) по видам товаров –

Х₁⁰ = 222, Х₂⁰ = 222 Х₃⁰ = 222 (у.е.);

· накладные расходы на общие поставки этих товаров за год составят 2 000 (у.е.);

· суммарные указанные годовые потери равны 2 666 (у.е.).

Как видим, учет временной структуры процентных ставок изменяет традиционно рекомендуемые значения указанных параметров стратегии управления запасами. А именно, – рекомендации на основе традиционных формул без учета временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера обусловили следующее:

завысили объем заказа на 11%;

занизили значение максимально допустимого дефицита на 10%;

занизили значение оптимального показателя доли времени допустимого дефицита для интервалов между поставками товара на 18,5%, что обусловило нарушение оптимального баланса для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов на 55,5%.

Определим соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов, обусловливаемое отсутствием или наличием учета временной структуры процентных ставок при выборе стратегии управления запасами. Для этого определим указанные интенсивности в следующих случаях.

Случай 1. При учете временной стоимости денег и поставках товара партиями оптимальных (с учетом временной стоимости денег) размеров заказов q_i^* по каждому виду товара для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при найденных выше оптимальных параметрах стратегии управления запасами ) имеем:

F(q^*) = 1500 000 - 40/0,0180534 - 0,0180534×600 000×(0,(18))²/2-0,0180534×300 000×(0,(81))²/2 - 0,0180534×4500 00×0,1(6)×(0,(18))²/2=

= 1495570 ( у.е./год)

Случай 2. Если временную стоимость денег не учитывать и поставлять товар партиями с размерами заказов q_i⁰ (в рамках традиционных рекомендаций), то для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при соответствующих указанных выше параметрах стратегиями управления запасами) имеем:

F(q^*) = 1500 000 - 40/0,02 - 0,02×600 000×(1/3)²/2-

- 0,02×300 000×(2/3)²/2 - 0,02×4500 00×0,1(6)×(1/3)²/2 =

= 1495166 ( у.е./год).

Как видим, интенсивность потока доходов с учетом временной структуры процентных ставок возрастает по анализируемому виду товаров на 404 у.е./год. Это – соответствующий экономический эффект в единицах показателя интенсивности потока доходов, который дает процедура учета временной стоимости денег применительно к логистическим процессам анализируемой в этом примере системы управления запасами, причем применительно только к указанному виду номенклатуры, применительно к которой были проведены соответствующие расчеты.

Результаты представленного здесь исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории традиционные модели планирования дефицита при оптимизации стратегий управления запасами, могут быть улучшены в смысле максимизации показателей эффективности функционирования таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок (учета временной стоимости денег) при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы в рамках анализируемых логистических процессов. В этой главе показано, что учет временной структуры процентных ставок изменяет традиционно рекомендуемые значения для параметров соответствующей оптимальной стратегии управления запасами. А именно, рекомендации, не учитывающие временную стоимость денег, приводят: 1) к завышению объемов заказов i-товаров в партиях общих поставок; 2) занижают значение показателя максимально допустимого дефицита; 3) занижают значение оптимального показателя доли времени допустимого дефицита по i-товарам на интервале повторного заказа при общих поставках; 40 нарушают оптимальный баланс соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов для i-товаров. Суммарный резерв для возможного повышения эффективности системы за счет соответствующего учета временной стоимости издержек/доходов по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным.