Определение действительной величины отрезка и углов наклона прямой линии к плоскостям проекций

Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций не в натуральную величину, а с искажением. Проекция отрезка всегда меньше его действительной величины.

При построении действительной величины отрезка можно определить углы наклона прямой, которая задана этим отрезком, к плоскостям проекций П1, П2, П3.

Рассмотрим рисунок 21. Чтобы построить натуральную величину отрезка АВ, нужно на горизонтальной плоскости проекций под прямым углом от точки А или В отложить разность координат концов отрезка до горизонтальной плоскости П1. Такой координатой, измеряющей расстояние от точки до П1 является координата Z. Разность координат Z (В) – Z (А) = Δ Z. Отложив под прямым углом к А1В1 Δ Z, мы получим точку В с нулевым индексом В₀. Отрезок А1В0 выражает натуральную величину отрезка (такова его длина в действительности, можете измерять его линейкой и писать в миллиметрах в ответ задачи), а угол α между проекцией отрезка А1В1 и его натуральной величиной А1В0 - это есть угол наклона прямой, заданной отрезком АВ к горизонтальной плоскости проекций.

Рисунок 21 Рисунок 22

На рисунке 22 длина отрезка АВ определена на фронтальной плоскости проекций. Теперь для определения натуральной величины использована разность координат концов отрезка до фронтальной плоскости проекций, т. е. координаты Y(В)-Y(А)=∆Y. Под прямым углом к А2В2 отложена дельта Y и обозначена точка В0. Отрезок А2В0 определяет истинную величину отрезка АВ, а угол между проекцией А2В2 и истинной величиной является углом наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций и обозначается β.

Для определения угла наклона γ прямой к профильной плоскости проекций необходимо действия по нахождению натуральной величины отрезка АВ выполнить на профильной плоскости проекций, используя при этом разность координат Х (В) -Х (А), т. к. именно координата Х определяет расстояние от точки до профильной плоскости проекций. Посмотрите на рисунке 23 и попробуйте проговорить себе последовательность построения, ориентируясь на описание рисунок 21 и рисунок 22.

Рисунок 23

Теперь, когда мы подробно разобрали нахождение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций, попробуйте запомнить формулировку этого правила: Чтобы определить действительную величину отрезка и угол его наклона к плоскости проекций, необходимо построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является проекция отрезка на плоскость, а другим - разность координат концов отрезка до этой плоскости проекций.Гипотенуза этого треугольника выражает действительную величину отрезка, а угол между ней и катетом, являющимся проекцией отрезка выражает угол наклона отрезка к этой плоскости проекций.

Прямые частного положения

А нам с вами горизонтальная линия уровня будет очень часто нужна для решения задач. Прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций называются прямыми частного положения.

Прямые, параллельные одной плоскости проекций, называются линиями уровня. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной прямой уровня. Заметили, что в определении два одинаковых слова? Если прямая параллельна П1, то фронтальная проекция этой прямой параллельна оси проекций ОХ, а горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна по величине самому отрезку А1В1 = АВ. Чтобы отличать эту прямую от других, ее, как правило, обозначают буквой h. Посмотрите на рисунке 24, как горизонтальная прямая строится на эпюре. По чертежу можно определить угол наклона горизонтальной прямой к фронтальной плоскости проекций β. Попробуйте самостоятельно в тетради построить третью проекцию прямой h3 по точкам А и В. Оси OZ и OY проведите вертикально в любом месте чертежа. Профильная проекция А3В3 должна получится параллельной оси OY.

Рисунок 24 Рисунок 25

На рисунке 25 построена прямая линия, которую называют фронтальной прямой и обозначают, как правило буквой f. Фронтальная прямая параллельна фронтальной плоскости проекций, поэтому отрезок такой прямой проецируется в натуральную величину на П2. Угол наклона этой прямой к горизонтальной плоскости проекций обозначен на чертеже через α.

Попробуйте в тетради построить чертеж фронтальной линии уровня, проходящей через точки С (45, 20, 20) и D (20, 20, 40). Построив горизонтальную и фронтальную проекцию, сравните ее с рисунок 25 и достройте самостоятельно профильную проекцию (она должна получится параллельна оси OZ).

Третья линия уровня называется профильной прямой. Она параллельна профильной плоскости проекций, и, значит, координата X для всех ее точек будет одной и той же. На рисунке 26 построена профильная линия уровня в трех проекциях и указаны углы наклона ее к плоскостям проекций – α и β.

Рисунок 26 Рисунок 27

Прямые, параллельные двум плоскостям проекций, называются проеци-рующими. На рисунке 27 изображена горизонтально-проецирующая прямая, которая параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций и, соответственно, перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Отсюда и название - горизонтально-проецирующая, она совпадает с направлением проецирования на горизонтальную плоскость проекций, и поэтому имеет на П1 вырожденную проекцию прямой – точку. Натуральная величина отрезка может быть определена по фронтальной или профильной проекциям.

Прямая, параллельная горизонтальной и профильной плоскостям проекций называется фронтально-проецирующей, она перпендикулярна П2 и проецируется на нее в точку. На рисунке 28 изображена такая прямая, отрезок проецируется в натуральную величину на П1 и П3.

Прямая, параллельная горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций называется профильно-проецирующей прямой, она перпендикулярна профильной плоскости проекций П3, рисунок Отрезок проецируется в натуральную величину на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций.

Рисунок 28 Рисунок 29

7 Принадлежность точки прямой линии

Выражение "точка В инцидентна прямой а" означает, что точка В принадлежит прямой а, или что прямая проходит через точку В, или, что тоже самое, точка В лежит на прямой а. Запомните: если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой. Обратное заключение справедливо для всех прямых, кроме профильных уровня. Рассмотрите внимательно рисунок 30 : какая точка принадлежит прямой АВ, а какая нет?

Рисунок 30 Рисунок 31

Проекции точки D лежат на одноименных проекциях прямой АВ, следовательно, точка D принадлежит прямой АВ; Фронтальная проекция точки С принадлежит фронтальной проекции прямой АВ, а горизонтальная проекция С1 не лежит на горизонтальной проекции прямой АВ, следовательно, точка С не принадлежит прямой АВ.

На рисунке 31 изображена профильная прямая CD. Точка К расположена таким образом, что ее горизонтальная проекция К1 принадлежит горизонтальной проекции прямой C1D1, а фронтальная проекция К2 принадлежит фронтальной проекции прямой. Тем не менее, чтобы сделать вывод о принадлежности точки К прямой CD, необходимо построить их третьи проекции – профильные. По чертежу видно, что профильная проекция точки К3 не лежит на профильной проекции прямой, следовательно, и сама точка не принадлежит прямой CD. Для всех других прямых, кроме профильной уровня, достаточно проверить принадлежность двух проекций точки одноименным проекциям прямой.

Взаимное положение прямых

Как известно из программы средней школы, прямые могут пересекаться, быть параллельными (лежать в одной плоскости и не иметь общей точки) и скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не иметь общей точки).

Наша задача состоит в том, чтобы разобраться, как изображаются на эпюре параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. На рисунке 32 изображен эпюр параллельных прямых – одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.

Справедливо и обратное заключение, кроме случая с профильными прямыми. Если даны профильные прямые, то их параллельность проверяется по профильным проекциям.

Рисунок 32 Рисунок 33

На рисунке 33 изображены пересекающиеся прямые t (t1, t2) и n (n1, n2). Чертеж пересекающихся прямых показывает, что если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются и не параллельны между собой. На эпюре скрещивающиеся прямые будут напоминать пересекающиеся с той лишь разницей, что точки пересечения фронтальных и горизонтальных проекций не будут лежать на одной линии связи (перпендикуляре к оси ОХ), рисунок 34. В связи с этим вводится понятие конкурирующие точки.

Рисунок 34 Рисунок 35

Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.

На рисунке 35 обозначены конкурирующие точки и определена их видимость на П1 П2, невидимые точки берутся в скобки. Давайте рассмотрим подробно. На фронтальной проекции пересекаются фронтальные проекции прямых t2 и b2. Обозначим эту точку 1 с индексом 2 и 2 с индексом 2. Допустим, что в пространстве точка 1 лежит на прямой b, а точка 2 на прямой t. Обозначим в соответствии с этим горизонтальные проекции точек 1 и 2. Для определения видимости точек на фронтальной плоскости проекций нужно сравнить координаты Y точек 1 и 2. Координата Y (.) 2 > Y (.) 1, следовательно на фронтальной плоскости проекций точка 2 будет видимой, а точка 1 будет лежать на одном проецирующем луче с точкой 2 и окажется "прикрытой" точкой 2, т. е. невидимой глазу наблюдателя. Такие точки берутся в круглые скобки. На горизонтальной плоскости проекций пересекаются горизонтальные проекции прямых в точке, которую обозначим цифрой 3 с индексом 1 и цифрой 4 с индексом 1. Эти две точки в пространстве лежат на разных прямых, допустим точка 3 на прямой t, а точка 4 на прямой b. Обозначим соответственно этому допущению фронтальные проекции точек. Чтобы определить видимость точек на горизонтальной плоскости проекций нужно сравнить координаты Z этих точек. Координата Z (.) 4 > Z (.) 3, следовательно, на горизонтальной плоскости проекций будет видна точка 4, а точка 3 будет находиться под ней, и ее нужно взять в скобки. Попробуйте по рисунку 35 проговорить этот текст и объяснить себе это несколько раз. Определение видимости по конкурирующим точкам в течение учебного курса пригодится неоднократно.

Плоскости

Из программы средней школы известно, что плоскость в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой ( прямой и точкой не принадлежащей ей, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми, отсеком плоской фигуры - треугольником, четырехугольником и т. д.). В соответствии с этим, на комплексном чертеже плоскость может быть изображена проекциями этих геометрических элементов. На рисунке 36 плоскость задана тремя точками А, В, С. На рисунке 32 – параллельными прямыми а и b, на рисунке 33 плоскость задана пересекающимися прямыми t и n. На рисунке 37 плоскость задана треугольником АВС. Это все известные Вам способы задания плоскостей.

Рисунок 36 Рисунок 37

В начертательной геометрии пользуются еще одним способом задания плоскостей – следами. Следом плоскости называют линию пересечения плоскости с плоскостью проекций. На рисунке 38 дано наглядное изображение плоскости Q, которая пересекается с плоскостями проекций по прямым, называемым следами плоскости. Q1 - горизонтальный след плоскости, Q2- фронтальный след плоскости, Q3 - профильный след плоскости.

Qx, Qy, Qz – точки схода следов на осях проекций. Обычно плоскость на эпюре изображается двумя следами (Q1, Q2), см рисунок 39, которые как две пересекающиеся прямые вполне определяют плоскость. Фронтальный след плоскости расположен во фронтальной плоскости проекций, поэтому его горизонтальная проекция лежит на оси ОХ. Горизонтальный след плоскости расположен в горизонтальной плоскости проекций, поэтому его фронтальная проекция лежит на оси ОХ.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Рисунок 38 Рисунок 39

Плоскость Q – плоскость общего положения, она пересекается со всеми плоскостями проекций, т. к. не параллельна ни одной из них.

Плоскости, перпендикулярные одной какой-нибудь плоскости проекций называются проецирующими.

Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей. Если эта плоскость задана следами, рисунок 40, то ее фронтальный след всегда перпендикулярен оси ОХ, а горизонтальный след составляет с осью ОХ угол β, который является углом наклона данной плоскости к фронтальной плоскости проекций П2.

Рисунок 40 Рисунок 41

На рисунке 41 показан эпюр горизонтально-проецирующей плоскости, заданнной треугольником АВС. Так как плоскость перпендикулярна П1, горизонтальная проекция треугольника вырождается в прямую линию.

Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей. Если такая плоскость задана следами рисунок 42, то ее горизонтальный след всегда перпендикулярен оси ОХ, а фронтальный составляет с осью ОХ угол α, который является углом наклона данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Рисунок 42 Рисунок 43

На рисунке 43 фронтально-проецирующая плоскость задана прямой t и точкой D, не лежащей на этой прямой.

Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей.

Рисунок 44 Рисунок 45

На рисунке 44 дано наглядное изображение такой плоскости, а на рисунке 45 выполнен эпюр профильно-проецирующей плоскости. Оба следа плоскости, и горизонтальный, и фронтальный, расположены параллельно оси ОХ.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной плоскостью уровня. Фронтальный след этой плоскости проходит параллельно оси ОХ, а профильный след – параллельно оси OY. Горизонтального следа у этой плоскости нет, так как она параллельна П1 по определению. На рисунке 46 дано наглядное изображение такой плоскости, а на рисунке 47 ее эпюр. Если плоскость задана треугольником, то он проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, см. рисунок 48.

Рисунок 46 Рисунок 47

Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций называется фронтальной плоскостью уровня. Она не имеет фронтального следа, и все, что в ней лежит, проецируется в натуральную величину на П2. На рисунке 49 фронтальная уровня плоскость задана следами.

Рисунок 48 Рисунок 49

Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций называется профильной уровня. Такая плоскость не имеет профильного следа, а ее горизонтальный и фронтальный следы перпендикулярны оси ОХ, рисунок 50. Если плоскость задана геометрической фигурой, то она проецируется в натуральную величину на П3, рисунок 51.

Рисунок 50 Рисунок 51

Прямая и точка в плоскости

Давайте вспомним, когда прямая принадлежит плоскости:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.

Из этих двух известных Вам признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы:

1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости;

2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна.

Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами, рисунок 52. Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей. На рисунке 53 показан эпюр плоскости, заданной пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировть точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.

Рисунок 52 Рисунок 53

Согласно второму положению на рисунке 54 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, - она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости - горизонтальному следу Р1.

Рисунок 54 Рисунок 55

Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости, то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости.

Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

ЗАДАЧА 1. Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Постройте фронтальную проекцию точки В, рисунок 56. На рисунках 57, 58, 59 показано фрагментарно решение этой задачи: 1) Проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую,

лежащую в плоскости Р, - для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже - М1 и K1.

2) Построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой.

Рисунок 56 Рисунок 57

3) По признаку принадлежности точки плоскости, построим фронтальную проекцию точки В на прямой М2K2.

Т. о. точка В принадлежит плоскости Р так как она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Рисунок 58 Рисунок 59

Особые прямые в плоскости