Арифметический квадратный корень
Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
an = a1 + d(n – 1) | an = ak + d(n – k) |
2an = an-1 + an+1 | an + am = ak + al, если n + m = k + l |
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1 | bn = bk qn – k |
bn2 = bn-1 bn+1 | bn bm = bk bl, если n + m = k + l |
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
Степень
Определение
, если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
Формулы
Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.
Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант: D = b2 – 4ac
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1 × x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .
a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм: где e = 2,71828
Формулы
Дроби
Сложение
Деление с остатком:
Признак | Пример | |
На 2 | Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой | …….6 |
На 4 | Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. | ……12 |
На 8 | Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. | …..104 |
На 3 | Числа, сумма цифр которых делится на 3. | |
На 9 | Числа, сумма цифр которых делится на 9. | |
На 5 | Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. | …….5 |
На 25 | Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. | ……75 |
На 10 | Числа, оканчивающиеся нулём. | ……0 |
|
Вычитание
Умножение
Деление
Составная дробь
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173× 102 ; 0,00003173 = 3,173× 10-5
Форма записи: 3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3
Модуль
Формулы Определение
· ½x½ ³ 0
· ½x - y½ ³ ½x½ - ½y½
· ½-x½=½x½
· ½x × y½ = ½x½ × ½y½
· ½x½ ³ x
· ½x : y½ =½x½ : ½y½
· ½x + y½ £ ½x½ + ½y½
½x½2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a £ b), a > b (a ³ b)
Основные свойства:
Периодическая дробь
Правило:
Признаки делимости чисел:
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
B - 100%
A - x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,75×1,2A = 0,9A = 90%A
3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
Þ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
Þ Ответ: уменьшится на 20%
Þ Ответ: уменьшится на 20%
Уравнение движения
Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.
Тогда: ,
где – скорость, - ускорение.
Определенный интеграл
Тригонометрия
Основные триг. формулы
Þ
Þ
Формулы суммы функций
Формулы суммы аргументов:
Формулы двойного аргумента
Универсальная подстановка
Уравнения с синусом
Частные формулы:
Общая формула:
Обратные триг функции
Функция | Свойства | ||
Область определения | Множество значений | ||
arccosx | [0; p] | ||
arcsinx | [-p/2; p/2] | ||
arctgx | (-p/2; p/2) | ||
arcctgx | (0; p) | ||
Геометрия
Теорема косинусов, синусов
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Площадь треугольника
Средняя линия
Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух с сторон треугольника.
Средняя линия параллельна т третьей стороне и равна е её половине:
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
v Все углы равны 600.
v Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
v Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
v Радиусы окружностей:
Площадь
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является б биссектрисой и медиан
|
v Теорема Пифагора: Площадь:
v Тригонометрические соотношения:
v Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
v Радиусы окружностей:
v Высота, опущенная на гипотенузу:
v Катеты:
Биссектриса
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.
· Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
· Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
·
Конус
|
|
Усеченный конус
Вписанная окружность
· Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
· Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:
a + b = c + d
Описанная окружность
Касательная, секущая
·
· Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
· Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
· Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
· Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:
Длина окружности, площадь
Хорда
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
· Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
· В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
· Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
Шар
Шаровой сектор
Шаровой сегмент
Центральный, вписанный угол
Сектор
Касательная, секущая
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
X
X
X
Призма
Прямая
Призма
Цилиндр
Медиана
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
· Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
· Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.
Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании и правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания.
М Все боковые рёбра равны между м м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники.
Усеченная пирамида
Скалярное произведение
Сумма, разность векторов
Углы на плоскости
Координаты вектора
Координаты вектора:
Длина вектора:
Умножение вектора на число:
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
ü Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
ü Сторона правильного n–угольника:
Площадь правильного n–угольника:
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
ü Диагональ квадрата Площадь:
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.
ü Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов.
ü Площадь:
Параллелограмм
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом.
ü Середина диагонали является центром симметрии.
ü Противоположные стороны и углы равны.
ü Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
ü Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
ü Площадь:
Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
an = a1 + d(n – 1) | an = ak + d(n – k) |
2an = an-1 + an+1 | an + am = ak + al, если n + m = k + l |
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1 | bn = bk qn – k |
bn2 = bn-1 bn+1 | bn bm = bk bl, если n + m = k + l |
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
Степень
Определение
, если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
Формулы
Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.
Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант: D = b2 – 4ac
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1 × x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .
a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм: где e = 2,71828
Формулы
Дроби
Сложение
Деление с остатком:
Признак | Пример | |
На 2 | Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой | …….6 |
На 4 | Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. | ……12 |
На 8 | Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. | …..104 |
На 3 | Числа, сумма цифр которых делится на 3. | |
На 9 | Числа, сумма цифр которых делится на 9. | |
На 5 | Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. | …….5 |
На 25 | Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. | ……75 |
На 10 | Числа, оканчивающиеся нулём. | ……0 |
|
Вычитание
Умножение
Деление
Составная дробь
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173× 102 ; 0,00003173 = 3,173× 10-5
Форма записи: 3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3
Модуль
Формулы Определение
· ½x½ ³ 0
· ½x - y½ ³ ½x½ - ½y½
· ½-x½=½x½
· ½x × y½ = ½x½ × ½y½
· ½x½ ³ x
· ½x : y½ =½x½ : ½y½
· ½x + y½ £ ½x½ + ½y½
½x½2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a £ b), a > b (a ³ b)
Основные свойства: