Арифметический квадратный корень

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень

С

тепенью с натуральным показателем n числа а называется произведение n сомножителей равных этому числу.

- всего n сомножителей.

Например, .

Число а называют основанием, а число n называют показателем степени.

Степень с показателем 2 называют квадратом, а с показателем 3 – кубом.

Примеры:

Корнем n-ой степени (n-натуральное число) из числа a ( обозначение ) называют такое число x, степень которого равна a ( ). Эту операцию называют извлечением корня n-ой степени из a. Корень из положительного числа – всегда число положительное.

Корень второй степени не пишут, то есть .

Например, , а не -2, хотя .

Если число n – четное, то операция извлечения корня из отрицательного числа в поле действительных чисел не определена. Например, действительного числа не существует.

Степенью с рациональным показателем m/n числа x (степенью с дробным показателем) называют число , m и n – целые числа.

Например,

Любое число, кроме 0, в нулевой степени равно 1 . Операция не определена.

Еще одно важное соотношение

.

Например:

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению: .
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

,a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;
• n — натуральное число;
• m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

• Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней