Определение расчетных усилий в стержнях фермы

Усилие в u-ом стержне фермы от действия постоянных (неподвижных) нагрузок определяется по формуле

, (2.14)

где P_i, q_j – i-ая сосредоточенная и j-ая распределенная нагрузки, приложенные к ферме;

y_i, ω_J – соответственно ордината и площадь линии влияния усилия в u-ом стержне под i-ой сосредоточенной и j-ой распределенной нагрузками;

n, n^* - соответственно число сосредоточенных и распределенных нагрузок, действующих на ферму.

Максимальное усилие в u-ом стержне фермы от действия подвижных нагрузок определяется по формуле

, (2.15)

где D_k – k-ая сосредоточенная подвижная нагрузка (давление k-го ходового колеса);

y′_k – ордината линии влияния усилия в u-ом стержне под k-ой сосредоточенной подвижной нагрузкой в расчетном положении поезда;

m - число сосредоточенных подвижных нагрузок.

Для удобства вычисления усилий в стержнях фермы данные расчетов сведены в табл. 2.1. Здесь в графах 2 и 3 помещены значения ординат y_i линий влияния, расположенных под сосредоточенными нагрузками P_i; в графах 4 и 5 - значения площадей ω_J линий влияния, расположенных под равномерно распределенными нагрузками q_J. В графе 6 помещены усилия в стержнях фермы от действия неподвижных нагрузок P_i и q_J,. В графах 7-10 помещены ординаты y′_k л.в., расположенные под грузами D_k в расчетном положении поезда для каждой л.в., а в графе 11 – максимальные усилия в стержнях фермы, вызванные подвижной нагрузкой.

Расчетные усилия в стержнях фермы (см. табл. 2.1, графа 12) рассчитаны по формуле

, (2.16)

где ψ_q – коэффициент динамичности для постоянных нагрузок, принимаемый для мостовых кранов в зависимости от скорости передвижения крана (ψ_q = 1,0 при V_кр < 1 м/с; ψ_q = 1,1 при 1 ≤V_кр ≤2 м/с; ψ_q = 1,2 при V_кр > 2 м/с);

ψ_Q – коэффициент динамичности для подвижных нагрузок (веса груза), принимаемый в зависимости от режима работы крана (ψ_Q = 1,1, ψ_Q = 1,2, ψ_Q = 1,3 соответственно для легкого, среднего и тяжелого режимов работы крана).

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

СТЕРЖНЕЙ ФЕРМЫ

Верхний пояс

Верхний пояс фермы работает на сжатие и местный изгиб. Максимальное сжимающее усилие возникает в стержне О₆ (см. табл. 2.1). Панельный М_п и узловой М_у изгибающие моменты в стержне О₆ могут быть определены по следующим упрощенным зависимостям:

;

.

Из конструктивных соображений сечение верхнего пояса принято тавровым. Необходимая площадь сечения пояса [5]:

Здесь [σ] = 160 МПа – допускаемые напряжения для стали ВСт3сп (см. приложение В); δ = 8 мм - толщины стенки тавра (см. табл. 4.1).

С учетом того, что площадь верхнего пояса фермы делится примерно поровну между поясом и стенкой тавра, конструируем сечение тавра (см. рис. 3.1,а,б): пояс 100х12 мм (F_п = 1200 мм²); стенка 160х8 мм (F_ст = 1280 мм²).

Определяем положение нейтральной оси х-х (см. рис. 3.1):

;

z₂ = 160,0 + 12,0 – 50,4 = 121,6 мм.

Здесь ΣS_i^ст – сумма статических моментов площадей пояса и стенки стержня О₆ относительно оси х_о-х_о, совмещенной с верхними волокнами тавра; ΣF_i - площадь сечения стержня О₆.

Вычисляем геометрические характеристики сконструированного сечения верхнего пояса фермы:

- момент инерции тавра относительно оси х-х:

- момент инерции тавра относительно оси у-у:

;

- моменты сопротивления для крайних верхних и нижних волокон тавра:

;

;

- радиусы инерции тавра относительно осей х-х и у-у:

Гибкость панели (стержень О₆) верхнего пояса:

- относительно оси х-х

- относительно оси у-у

где μ = 1,0 – коэффициент расчетной длины для поясных стержней фермы; [λ] = 120 – допускаемая гибкость для сжатых стержней несущих крановых ферм (см. приложение Б).

Суммарные напряжения в среднем сечении стержня О₆ (см. рис. 3.1,а)

На рис. 3.1,а построены эпюры сжимающих σ_сж, изгибных σ_из и суммарных σ_сум напряжений в среднем сечении стержня О₆. Как видно, максимальные суммарные напряжения возникают в крайних верхних волокнах тавра.

Суммарные напряжения в узлах стержня О₆ (см. рис. 3.1,б)

На рис. 3.1,б построены эпюры сжимающих σ_сж, изгибных σ_из и суммарных σ_сум напряжений в узловых сечениях стержня О₆. Максимальные суммарные напряжения в этом случае возникают в крайних нижних волокнах тавра.

Таким образом, условие безопасности верхнего пояса фермы обеспечено.

Нижний пояс

Нижний пояс фермы работает на растяжение. Максимальное (расчетное) усилие в наиболее нагруженном стержне U₆ нижнего пояса S_u6^расч = 243,52·10³ Н (см. табл. 2.1). Из конструктивных соображений сечение нижнего пояса выполнено из двух равнополочных уголков (см. рис. 3.1,в).

Необходимая площадь сечения стержня U₆ нижнего пояса

Принимаем уголки 70х70х6 по ГОСТ 8509-72 с F_у = 8,15 см², J_х = 37,6 см⁴, i_x = 2,15 см, z₀ = 1,94 см, тогда

Проверяем выбранное сечение стержня U₆ на предельную гибкость

где [λ] = 150 – допускаемая гибкость для растянутых поясных стержней несущих ферм (см. приложение Б);

b_u6 = 100 см – длина стержня U₆.

Проверим, можно ли для изготовления нижнего пояса консольной части фермы (стержня U₁₃) использовать уголки 70х70х6. Гибкость стержня U₁₃

,

а расчетные напряжения сжатия в стержне U₁₃

Таким образом, условие безопасности нижнего пояса фермы обеспечено по всей длине пролета.

Стойки

Наиболее нагруженная стойка V₂ фермы (см. табл. 2.1) работает на растяжение. Необходимая площадь сечения стойки из условия прочности

Из конструктивных соображений сечение стоек фермы выполнено из двух равнополочных уголков (см. рис. 3.1,г). Выбираем уголок 40х40х4 по ГОСТ 8509-72 с F_у = 3,08 см², J_х = J_у1 = 4,58 см⁴, i_x = 1,22 см, z₀ = 1,13 см.

Тогда расчетные напряжения растяжения в стойке V₂

гибкость стойки относительно осей х-х и у-у:

где m₁ = 0,8 и m = 1,0 – коэффициенты расчетной длины стойки при рассмотрении возможной потери устойчивости стержня соответственно в плоскости и из плоскости фермы;

i_у – радиус инерции сечения стойки относительно оси у-у, равный

где момент инерции сечения стойки относительно оси у-у равен

J_y = (J_y1 + F_y×a²)×2 = [4,58 + 3,08×(1,13 + 0,4)²]×2 = 23,58 см⁴.

Таким образом, условия прочности и предельной гибкости для стойки V₂ выполняются.

Диагонали

Диагонали фермы работают на сжатие (см. табл. 2.1). Из конструктивных соображений сечение диагоналей выполнено из двух равнополочных уголков (см. рис. 3.1,д).

Выбираем уголок 63х63х5 по ГОСТ 8509-72 с F_у = 6,13 см², J_х =J_у1 = 23,1 см⁴, i_x = 1,94 см, z₀ = 1,74 см.

Гибкость диагонали относительно осей х-х и у-у равна:

где

J_y = (J_y1 + F_y×a²)×2 = [23,1 + 6,13×(1,74 + 0,4)²]×2 = 102,3 см⁴.

Расчетные напряжения сжатия в наиболее нагруженной диагонали D₁₃ (см. табл. 2.1)

,

Таким образом, условия устойчивости для диагонали D₁₃ выполняется.

4. КОНСТРУИРОВАНИЕ ФЕРМЫ

Если при подборе сечений стержней фермы исходить только из условий прочности, устойчивости и жесткости, то число профилей может оказаться слишком большим, что не рационально. Поэтому при конструировании ферм осуществляют некоторую стандартизацию, стремясь к уменьшению количества профилей. При этом исходят из таких положений [4]:

- каждый из поясов легких ферм подбирают по наибольшему усилию и выполняют из одного профиля; при значительной длине поясов и наличии стыков можно применить несколько профилей различного сечения;

- для всех стоек применяют одно сечение, а для раскосов – одно-два сечения;

- уголки с полкой меньше 40х4 мм в конструкциях вообще не применяют;

- общее число профилей в одной ферме не должно превышать пяти-шести.

Основные принципы и порядок конструирования легких ферм следующий (см. рис. 4.1):

- вычерчивают в определенном масштабе (1:10, 1:15, 1:20, 1:25) геометрическую схему фермы; если ферма симметрична, то допускается вычерчивать половину фермы;

- вычерчивают пояса фермы так, чтобы их оси на геометрической схеме совпадали с линией центров тяжести поперечных сечений поясов (при вычерчивании стержней и узлов фермы иногда, для лучшего изображения соединений, применяют больший масштаб, чем для геометрических схем, например, 1:10 для узлов, а 1:20 для геометрической схемы - при этом на чертеже искажается лишь длина стержней);

- вычерчивают стержни решетки (стойки и раскосы) в таком порядке, как и пояса; при расположении стержней решетки и определении их рабочей длины следует предусмотреть зазор (30-50 мм) между краями примыкающих друг к другу стержней;

- определяют расчетом размеры сварных швов; размеры сварных швов, необходимые для прикрепления фасонки к поясам, рассчитываются по равнодействующей усилий в стойках и раскосах, примыкающих к поясу в этом узле, при этом длина сварных швов должна быть не менее 60 мм с каждой стороны прикрепляемого элемента независимо от расчета;

- в масштабе, в котором вычерчены стержни, вычерчивают узловые фасонки; их размеры определяются длиной сварных швов, необходимой для присоединения стержней в узле;

- если сечение стержня состоит, например, из двух уголков, то элементы сечения необходимо жестко соединить друг с другом планками в некоторых точках между узлами, что обеспечивает совместную работу элементов сечения и равномерное распределение усилий между ними; расстояние между планками ℓ₁ принимается из условия, чтобы гибкость элементов стержня между планками не превышала 40 для сжатых и 80 для растянутых стержней (соответственно ℓ₁ ≤ 40ּi₁ для сжатых стержней и ℓ₁ ≤ 80ּi₁ – растянутых, где i₁ – радиус инерции одного элемента сечения стержня относительно оси, параллельной планке).

При выборе толщины и других размеров фасонок следует исходить из условия их прочности. Толщину фасонок выбирают в зависимости от наибольшего усилия в опорном раскосе (см. табл. 4.1).

Т а б л и ц а 4.1

Толщина фасонок в зависимости от усилий в опорном раскосе [4]

Расчетное усилие в опорном раскосе, кН	До 200	200 -450	450 -750	750 -1150	1150-1650
Толщина фасонок, мм

На рис. 4.1 помещен фрагмент рассчитанной выше фермы, вычерченный с учетом изложенных в начале раздела 4 требований.

Список рекомендуемой литературы

1. Вершинский А.В., Гохберг М.М., Семенов В.П. Строительная механика и металлические конструкции. – Л.: Машиностроение, 1984. – 231 с.

2. Гохберг М.М. Металлические конструкции подъемно-транспортных машин. 3-е изд. Л.: Машиностроение, 1976. - 456 с.

3. Дыховичный А.И. Строительная механика. 4-е изд. М.: Высшая школа, 1966. - 328 с.

4. Кубланов Н.П., Спенглер И.Е. Строительная механика и металлические конструкции. 2-е изд. К.: Будівельник, 1968. – 268 с.

5. Майзель В.С. Металлические конструкции подъемно-транспортных машин. М. – Л.: Машиностроение, 1966. – 181 с.

6. Методические указания к выполнению раздела «Конструирование и расчет ферм» курсовой работы по дисциплине «Строительная механика и металлические конструкции ПТСДММиО» (для студентов, обучающихся по направлению «Инженерная механика» на специальности 7.090214 «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные, мелиоративные машины и оборудование) / Сост. Л.Я. Будиков. – Луганск: Изд-во Восточноукр. нац. ун-та, 2005. – 33 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1. Общие сведения 3

2. Определение усилий в стержнях фермы

методом линий влияния 4

3. Определение размеров поперечных сечений стержней фермы 14

4. Конструирование фермы 19

Список рекомендуемой литературы 22

Приложение А. Коэффициент продольного изгиба центрально

сжатых стальных элементов 23

Приложение Б. Величины наибольшей допускаемой гибкости

для стержней 23

Приложение В. Допускаемые напряжения для сталей 24

Приложение Г. Сведения о сталях, применяемых для изготовления

металлоконструкций грузоподъемных машин 24

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Коэффициент продольного изгиба центрально сжатых стальных элементов

Гиб-	Значения коэффициента j для стали Ст3
кост
	1,000 0,990 0,970 0,950 0,920 0,890 0,860 0,810 0,750 0,690 0,600 0,520 0,450 0,400 0,360 0,320 0,290 0,260 0,230 0,210 0,190 0,170 0,160	0,999 0,988 0,968 0,947 0,917 0,887 0,855 0,804 0,744 0,681 0,592 0,513 0,445 0,396 0,356 0,317 0,287 0,257 0,228 0,208 - - -	0,998 0,986 0,966 0,944 0,914 0,884 0,850 0,798 0,738 0,672 0,584 0,506 0,440 0,392 0,352 0,314 0,284 0,254 0,226 0,206 - - -	0,997 0,984 0,964 0,941 0,911 0,881 0,845 0,792 0,732 0,663 0,576 0,499 0,435 0,388 0,348 0,311 0,281 0,251 0,224 0,204 - - -	0,996 0,982 0,962 0,938 0,908 0,878 0,840 0,786 0,726 0,654 0,568 0,492 0,430 0,384 0,344 0,308 0,278 0,248 0,222 0,202 - - -	0,995 0,980 0,960 0,935 0,905 0,875 0,835 0,780 0,720 0,645 0,560 0,485 0,425 0,380 0,340 0,305 0,275 0,245 0,220 0,200 - - -	0,994 0,978 0,958 0,932 0,902 0,872 0,830 0,774 0,714 0,636 0,552 0,478 0,420 0,376 0,336 0,302 0,272 0,242 0,218 0,198 - - -	0,993 0,976 0,956 0,929 0,899 0,869 0,825 0,768 0,708 0,627 0,544 0,471 0,415 0,372 0,332 0,299 0,269 0,239 0,216 0,196 - - -	0,992 0,974 0,954 0,926 0,896 0,866 0,820 0,762 0,702 0,618 0,536 0,464 0,410 0,368 0,328 0,296 0,266 0,236 0,214 0,194 - - -	0,991 0,972 0,952 0,923 0,893 0,863 0,815 0,756 0,696 0,609 0,528 0,457 0,405 0,364 0,324 0,293 0,263 0,233 0,212 0,192 - - -

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Величины наибольшей допустимой гибкости [l] для стержней

Элементы	Сжатые элементы	Растянутые элементы
конструкций	Сталь	Алюмин. сплавы	Сталь	Алюмин. сплавы
Пояса главных ферм Одностержневые конструкции стрел, колонн, мачт Остальные стержни главных ферм и пояса вспомогательных ферм Все прочие стержни	120-150     200-250	80-100	150-180   200-250   250-350	120-150

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Допускаемые напряжения [s] для сталей при расчетах на растяжение, сжатие, изгиб, МПа

Марка стали	Режим работы крана
легкий, средний (А1-А5)	тяжелый, весьма тяжелый (А6-А8)
Нагрузки
основные	основные и дополнительные	основные	Основные и дополнительные
ВСт3 Низколегированные стали

П р и м е ч а н и я: 1. Касательные допускаемые напряжения [t]=0,6·[s]. 2. При учете специальных нагрузок [s] £ 0,85·s_т. 3. Для односторонне прикрепляемых элементов допускаемые напряжения снижаются на 25%.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г